Решить систему линейных методом гаусса онлайн. Метод Гаусса (последовательного исключения неизвестных)
Метод Гаусса прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:
- во-первых, нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;
- во-вторых, методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;
- в-третьих, метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.
Краткий обзор статьи.
Сначала дадим необходимые определения и введем обозначения.
Далее опишем алгоритм метода Гаусса для простейшего случая, то есть, для систем линейных алгебраических уравнений, количество уравнений в которых совпадает с количеством неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы не равен нулю. При решении таких систем уравнений наиболее отчетливо видна суть метода Гаусса, которая заключается в последовательном исключении неизвестных переменных. Поэтому метод Гаусса также называют методом последовательного исключения неизвестных. Покажем подробные решения нескольких примеров.
В заключении рассмотрим решение методом Гаусса систем линейных алгебраических уравнений, основная матрица которых либо прямоугольная, либо вырожденная. Решение таких систем имеет некоторые особенности, которые мы подробно разберем на примерах.
Навигация по странице.
Основные определения и обозначения.
Рассмотрим систему из p линейных уравнений с n неизвестными (p может быть равно n ):
Где - неизвестные переменные, - числа (действительные или комплексные), - свободные члены.
Если 
, то система линейных алгебраических уравнений называется однородной
, в противном случае – неоднородной
.
Совокупность значения неизвестных переменных , при которых все уравнения системы обращаются в тождества, называется решением СЛАУ .
Если существует хотя бы одно решение системы линейных алгебраических уравнений, то она называется совместной , в противном случае – несовместной .
Если СЛАУ имеет единственное решение, то она называется определенной . Если решений больше одного, то система называется неопределенной .
Говорят, что система записана в координатной форме
, если она имеет вид
.
Эта система в матричной форме
записи имеет вид , где 
- основная матрица СЛАУ, - матрица столбец неизвестных переменных, - матрица свободных членов.
Если к матрице А
добавить в качестве (n+1)-ого
столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу
системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т
, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,
Квадратная матрица А называется вырожденной , если ее определитель равен нулю. Если , то матрица А называется невырожденной .
Следует оговорить следующий момент.
Если с системой линейных алгебраических уравнений произвести следующие действия
- поменять местами два уравнения,
- умножить обе части какого-либо уравнения на произвольное и отличное от нуля действительное (или комплексное) число k ,
- к обеим частям какого-либо уравнения прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на произвольное число k ,
то получится эквивалентная система, которая имеет такие же решения (или также как и исходная не имеет решений).
Для расширенной матрицы системы линейных алгебраических уравнений эти действия будут означать проведение элементарных преобразований со строками:
- перестановку двух строк местами,
- умножение всех элементов какой-либо строки матрицы T на отличное от нуля число k ,
- прибавление к элементам какой-либо строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на произвольное число k .
Теперь можно переходить к описанию метода Гаусса.
Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и основная матрица системы невырожденная, методом Гаусса.
Как бы мы поступили в школе, если бы получили задание найти решение системы уравнений 
.
Некоторые сделали бы так.
Заметим, что прибавив к левой части второго уравнения левую часть первого, а к правой части - правую, можно избавиться от неизвестных переменных x 2
и x 3
и сразу найти x 1
:
Подставляем найденное значение x 1 =1
в первое и третье уравнение системы:
Если умножить обе части третьего уравнения системы на -1
и прибавить их к соответствующим частям первого уравнения, то мы избавимся от неизвестной переменной x 3
и сможем найти x 2
:
Подставляем полученное значение x 2 =2
в третье уравнение и находим оставшуюся неизвестную переменную x 3
:
Другие поступили бы иначе.
Разрешим первое уравнение системы относительно неизвестной переменной x 1
и подставим полученное выражение во второе и третье уравнение системы, чтобы исключить из них эту переменную:
Теперь разрешим второе уравнение системы относительно x 2
и подставим полученный результат в третье уравнение, чтобы исключить из него неизвестную переменную x 2
:
Из третьего уравнения системы видно, что x 3 =3
. Из второго уравнения находим 
, а из первого уравнения получаем .
Знакомые способы решения, не правда ли?
Самое интересное здесь то, что второй способ решения по сути и есть метод последовательного исключения неизвестных, то есть, метод Гаусса. Когда мы выражали неизвестные переменные (сначала x 1 , на следующем этапе x 2 ) и подставляли их в остальные уравнения системы, мы тем самым исключали их. Исключение мы проводили до того момента, пока в последнем уравнении не осталась одна единственная неизвестная переменная. Процесс последовательного исключения неизвестных называется прямым ходом метода Гаусса . После завершения прямого хода у нас появляется возможность вычислить неизвестную переменную, находящуюся в последнем уравнении. С ее помощью из предпоследнего уравнения находим следующую неизвестную переменную и так далее. Процесс последовательного нахождения неизвестных переменных при движении от последнего уравнения к первому называется обратным ходом метода Гаусса .
Следует заметить, что когда мы выражаем x 1 через x 2 и x 3 в первом уравнении, а затем подставляем полученное выражение во второе и третье уравнения, то к такому же результату приводят следующие действия:
Действительно, такая процедура также позволяет исключить неизвестную переменную x 1
из второго и третьего уравнений системы:
Нюансы с исключением неизвестных переменных по методу Гаусса возникают тогда, когда уравнения системы не содержат некоторых переменных.
Например, в СЛАУ 
в первом уравнении отсутствует неизвестная переменная x 1
(иными словами, коэффициент перед ней равен нулю). Поэтому мы не можем разрешить первое уравнение системы относительно x 1
, чтобы исключить эту неизвестную переменную из остальных уравнений. Выходом из этой ситуации является перестановка местами уравнений системы. Так как мы рассматриваем системы линейных уравнений, определители основных матриц которых отличны от нуля, то всегда существует уравнение, в котором присутствует нужная нам переменная, и мы это уравнение можем переставить на нужную нам позицию. Для нашего примера достаточно поменять местами первое и второе уравнения системы 
, дальше можно разрешить первое уравнение относительно x 1
и исключить ее из остальных уравнений системы (хотя во втором уравнении x 1
уже отсутствует).
Надеемся, что суть Вы уловили.
Опишем алгоритм метода Гаусса.
Пусть нам требуется решить систему из n
линейных алгебраических уравнений с n
неизвестными переменными вида 
, и пусть определитель ее основной матрицы отличен от нуля.
Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x 1
из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и так далее, к n-ому
уравнению прибавим первое, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид
где , а 
.
К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x 1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x 1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.
Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке
Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-ому
уравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид
где , а 
. Таким образом, переменная x 2
исключена из всех уравнений, начиная с третьего.
Далее приступаем к исключению неизвестной x 3
, при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы
Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид
С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем x n из последнего уравнения как , с помощью полученного значения x n находим x n-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x 1 из первого уравнения.
Разберем алгоритм на примере.
Пример.
методом Гаусса.
Решение.
Коэффициент a 11
отличен от нуля, так что приступим к прямому ходу метода Гаусса, то есть, к исключению неизвестной переменной x 1
из всех уравнений системы, кроме первого. Для этого к левой и правой частям второго, третьего и четвертого уравнения прибавим левую и правую части первого уравнения, умноженные соответственно на , 
и :
Неизвестную переменную x 1
исключили, переходим к исключению x 2
. К левым и правым частям третьего и четвертого уравнений системы прибавляем левую и правую части второго уравнения, умноженные соответственно на 
и 
:
Для завершения прямого хода метода Гаусса нам осталось исключить неизвестную переменную x 3
из последнего уравнения системы. Прибавим к левой и правой частям четвертого уравнения соответственно левую и правую часть третьего уравнения, умноженную на 
:
Можно начинать обратный ход метода Гаусса.
Из последнего уравнения имеем 
,
из третьего уравнения получаем ,
из второго ,
из первого .
Для проверки можно подставить полученные значения неизвестных переменных в исходную систему уравнений. Все уравнения обращаются в тождества, что говорит о том, что решение по методу Гаусса найдено верно.
Ответ:
А сейчас приведем решение этого же примера методом Гаусса в матричной форме записи.
Пример.
Найдите решение системы уравнений методом Гаусса.
Решение.
Расширенная матрица системы имеет вид 
. Сверху над каждым столбцом записаны неизвестные переменные, которым соответствуют элементы матрицы.
Прямой ход метода Гаусса здесь предполагает приведение расширенной матрицы системы к трапецеидальному виду с помощью элементарных преобразований. Этот процесс схож с исключением неизвестных переменных, которое мы проводили с системой в координатной форме. Сейчас Вы в этом убедитесь.
Преобразуем матрицу так, чтобы все элементы в первом столбце, начиная со второго, стали нулевыми. Для этого к элементам второй, третьей и четвертой строк прибавим соответствующие элементы первой строки умноженные на , и на соответственно:
Далее полученную матрицу преобразуем так, чтобы во втором столбце все элементы, начиная с третьего стали нулевыми. Это будет соответствовать исключению неизвестной переменной x 2
. Для этого к элементам третьей и четвертой строк прибавим соответствующие элементы первой строки матрицы, умноженные соответственно на и :
Осталось исключить неизвестную переменную x 3
из последнего уравнения системы. Для этого к элементам последней строки полученной матрицы прибавим соответствующие элементы предпоследней строки, умноженные на :
Следует отметить, что эта матрица соответствует системе линейных уравнений
которая была получена ранее после прямого хода.
Пришло время обратного хода. В матричной форме записи обратный ход метода Гаусса предполагает такое преобразование полученной матрицы, чтобы матрица, отмеченная на рисунке
стала диагональной, то есть, приняла вид
где - некоторые числа.
Эти преобразования аналогичны преобразованиям прямого хода метода Гаусса, но выполняются не от первой строки к последней, а от последней к первой.
Прибавим к элементам третьей, второй и первой строк соответствующие элементы последней строки, умноженные на 
, на и на 
соответственно:
Теперь прибавим к элементам второй и первой строк соответствующие элементы третьей строки, умноженные на и на соответственно:
На последнем шаге обратного хода метода Гаусса к элементам первой строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на :
Полученная матрица соответствует системе уравнений 
, откуда находим неизвестные переменные.
Ответ:
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ.
При использовании метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений следует избегать приближенных вычислений, так как это может привести к абсолютно неверным результатам. Рекомендуем не округлять десятичные дроби. Лучше от десятичных дробей переходить к обыкновенным дробям.
Пример.
Решите систему из трех уравнений методом Гаусса 
.
Решение.
Отметим, что в этом примере неизвестные переменные имеют другое обозначение (не x 1 , x 2 , x 3
, а x, y, z
). Перейдем к обыкновенным дробям:
Исключим неизвестную x
из второго и третьего уравнений системы:
В полученной системе во втором уравнении отсутствует неизвестная переменная y
, а в третьем уравнении y
присутствует, поэтому, переставим местами второе и третье уравнения:
На этом прямой ход метода Гаусса закончен (из третьего уравнения не нужно исключать y , так как этой неизвестной переменной уже нет).
Приступаем к обратному ходу.
Из последнего уравнения находим 
,
из предпоследнего
из первого уравнения имеем
Ответ:
X = 10, y = 5, z = -20 .
Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных или основная матрица системы вырожденная, методом Гаусса.
Системы уравнений, основная матрица которых прямоугольная или квадратная вырожденная, могут не иметь решений, могут иметь единственное решение, а могут иметь бесконечное множество решений.
Сейчас мы разберемся, как метод Гаусса позволяет установить совместность или несовместность системы линейных уравнений, а в случае ее совместности определить все решения (или одно единственное решение).
В принципе процесс исключения неизвестных переменных в случае таких СЛАУ остается таким же. Однако следует подробно остановиться на некоторых ситуациях, которые могут возникнуть.
Переходим к самому важному этапу.
Итак, допустим, что система линейных алгебраических уравнений после завершения прямого хода метода Гаусса приняла вид 
и ни одно уравнение не свелось к (в этом случае мы бы сделали вывод о несовместности системы). Возникает логичный вопрос: «Что делать дальше»?
Выпишем неизвестные переменные, которые стоят на первом месте всех уравнений полученной системы:
В нашем примере это x 1
, x 4
и x 5
. В левых частях уравнений системы оставляем только те слагаемые, которые содержат выписанные неизвестные переменные x 1
, x 4
и x 5
, остальные слагаемые переносим в правую часть уравнений с противоположным знаком:
Придадим неизвестным переменным, которые находятся в правых частях уравнений, произвольные значения , где 
- произвольные числа:
После этого в правых частях всех уравнений нашей СЛАУ находятся числа и можно преступать к обратному ходу метода Гаусса.
Из последнего уравнений системы имеем , из предпоследнего уравнения находим , из первого уравнения получаем
Решением системы уравнений является совокупность значений неизвестных переменных
Придавая числам различные значения, мы будем получать различные решения системы уравнений. То есть, наша система уравнений имеет бесконечно много решений.
Ответ:
где - произвольные числа.
Для закрепления материала подробно разберем решения еще нескольких примеров.
Пример.
Решите однородную систему линейных алгебраических уравнений 
методом Гаусса.
Решение.
Исключим неизвестную переменную x
из второго и третьего уравнений системы. Для этого к левой и правой части второго уравнения прибавим соответственно левую и правую части первого уравнения, умноженные на , а к левой и правой части третьего уравнения - левую и правую части первого уравнения, умноженные на :
Теперь исключим y
из третьего уравнения полученной системы уравнений:
Полученная СЛАУ равносильна системе 
.
Оставляем в левой части уравнений системы только слагаемые, содержащие неизвестные переменные x
и y
, а слагаемые с неизвестной переменной z
переносим в правую часть:
Определение и описание метода Гаусса
Метод преобразований Гаусса (также известный как преобразование методом последовательного исключения неизвестных переменных из уравнения или матрицы) для решения систем линейных уравнений представляет собой классический методом решения системы алгебраических уравнений (СЛАУ). Также этот классический метод используют для решения таких задач как получение обратных матриц и определения ранговости матрицы.
Преобразование с помощью метода Гаусса заключается в совершении небольших (элементарных) последовательных изменениях системы линейных алгебраических уравнений, приводящих к исключению переменных из неё сверху вниз с образованием новой треугольной системы уравнений, являющейся равносильной исходной.
Определение 1
Эта часть решения носит название прямого хода решения Гаусса, так как весь процесс осуществляется сверху вниз.
После приведения исходной системы уравнений к треугольной осуществляется нахождение всех переменных системы снизу вверх (то есть первые найденные переменные занимают находятся именно на последних строчках системы или матрицы). Эта часть решения известна также как обратный ход решения методом Гаусса. Заключается его алгоритм в следующем: сначала вычисляется переменные, находящиеся ближе всего к низу системы уравнений или матрицы, затем полученные значения подставляются выше и таким образом находится ещё одна переменная и так далее.
Описание алгоритма метода Гаусса
Последовательность действий для общего решения системы уравнения методом Гаусса заключается в поочередном применении прямого и обратного хода к матрице на основе СЛАУ. Пусть исходная система уравнений имеет следующий вид:
$\begin{cases} a_{11} \cdot x_1 +...+ a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{cases}$
Чтобы решить СЛАУ методом Гаусса, необходимо записать исходную систему уравнений в виде матрицы:
$A = \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ \vdots & … & \vdots \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{pmatrix}$, $b=\begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$
Матрица $A$ называется основной матрицей и представляет собой записанные по порядку коэффициенты при переменных, а $b$ называется столбцом её свободных членов. Матрица $A$, записанная через черту со столбцом свободных членов называется расширенной матрицей:
$A = \begin{array}{ccc|c} a_{11} & … & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_{m1} & … & a_{mn} & b_m \end{array}$
Теперь необходимо с помощью элементарных преобразований над системой уравнений (или над матрицей, так как это удобнее) привести её к следующему виду:
$\begin{cases} α_{1j_{1}} \cdot x_{j_{1}} + α_{1j_{2}} \cdot x_{j_{2}}...+ α_{1j_{r}} \cdot x_{j_{r}} +... α_{1j_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_1 \\ α_{2j_{2}} \cdot x_{j_{2}}...+ α_{2j_{r}} \cdot x_{j_{r}} +... α_{2j_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_2 \\ ...\\ α_{rj_{r}} \cdot x_{j_{r}} +... α_{rj_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \\ 0 = β_m \end{cases}$ (1)
Матрица, полученная из коэффициентов преобразованной системы уравнения (1) называется ступенчатой, вот так обычно выглядят ступенчатые матрицы:
$A = \begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ 0 & a_{22} & a_{23} & b_2\\ 0 & 0 & a_{33} & b_3 \end{array}$
Для этих матриц характерен следующий набор свойств:
- Все её нулевые строки стоят после ненулевых
- Если некоторая строка матрицы с номером $k$ ненулевая, то в предыдущей строчке этой же матрицы нулей меньше, чем в этой, обладающей номером $k$.
После получения ступенчатой матрицы необходимо подставить полученные переменные в оставшиеся уравнения (начиная с конца) и получить оставшиеся значения переменных.
Основные правила и разрешаемые преобразования при использовании метода Гаусса
При упрощении матрицы или системы уравнений этим методом нужно использовать только элементарные преобразования.
Таким преобразованиями считаются операции, которые возможно применять к матрице или системе уравнений без изменения её смысла:
- перестановка нескольких строк местами,
- прибавление или вычитание из одной строчки матрицы другой строчки из неё же,
- умножение или деление строчки на константу, не равную нулю,
- строчку, состоящую из одних нулей, полученную в процессе вычисления и упрощения системы, нужно удалить,
- Также нужно удалить лишние пропорциональные строчки, выбрав для системы единственную из них с более подходящими и удобными для дальнейших вычислений коэффициентами.
Все элементарные преобразования являются обратимыми.
Разбор трёх основных случаев, возникающих при решении линейных уравнений используя метод простых преобразований Гаусса
Различают три возникающих случая при использовании метода Гаусса для решения систем:
- Когда система несовместная, то есть у неё нет каких-либо решений
- У системы уравнений есть решение, причём единственное, а количество ненулевых строк и столбцов в матрице равно между собой.
- Система имеет некое количество или множество возможных решений, а количество строк в ней меньше чем количество столбцов.
Исход решения с несовместной системой
Для этого варианта при решении матричного уравнения методом Гаусса характерно получение какой-то строчки с невозможностью выполнения равенства. Поэтому при возникновении хотя бы одного неправильного равенства полученная и исходная системы не имеют решений вне зависимости от остальных уравнений, которые они содержат. Пример несовместной матрицы:
$\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}$
В последней строчке возникло невыполняемое равенство: $0 \cdot x_{31} + 0 \cdot x_{32} + 0 \cdot x_{33} = 1$.
Система уравнений, у которой есть только одно решение
Данные системы после приведения к ступенчатой матрице и удаления строчек с нулями имеют одинаковое количество строк и столбцов в основной матрице. Вот простейший пример такой системы:
$\begin{cases} x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end{cases}$
Запишем её в виде матрицы:
$\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end{array}$
Чтобы привести первую ячейку второй строчки к нулю, домножим верхнюю строку на $-2$ и вычтем её из нижней строчки матрицы, а верхнюю строчку оставим в исходном виде, в итоге имеем следующее:
$\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end{array}$
Этот пример можно записать в виде системы:
$\begin{cases} x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end{cases}$
Из нижнего уравнения выходит следующее значение $x$: $x_2 = 3 \frac{1}{3}$. Подставим это значение в верхнее уравнение: $x_1 – 3 \frac{1}{3}$, получаем $x_1 = 1 \frac{2}{3}$.
Система, обладающая множеством возможных вариантов решений
Для этой системы характерно меньшее количество значащих строк, чем количество столбцов в ней (учитываются строки основной матрицы).
Переменные в такой системе делятся на два вида: базисные и свободные. При преобразовании такой системы содержащиеся в ней основные переменные необходимо оставить в левой области до знака “=”, а остальные переменные перенести в правую часть равенства.
У такой системы есть только некое общее решение.
Разберём следующую систему уравнений:
$\begin{cases} 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end{cases}$
Запишем её в виде матрицы:
$\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end{array}$
Наша задача найти общее решение системы. Для этой матрицы базисными переменными будут $y_1$ и $y_3$ (для $y_1$ - так как он стоит на первом месте, а в случае $y_3$ - располагается после нулей).
В качестве базисных переменных выбираем именно те, которые первые в строке не равны нулю.
Оставшиеся переменные называются свободными, через них нам необходимо выразить базисные.
Используя так называемый обратный ход, разбираем систему снизу вверх, для этого сначала выражаем $y_3$ из нижней строчки системы:
$5y_3 – 4y_4 = 1$
$5y_3 = 4y_4 + 1$
$y_3 = \frac{4/5}y_4 + \frac{1}{5}$.
Теперь в верхнее уравнение системы $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ подставляем выраженное $y_3$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac{4}{5}y_4 + \frac{1}{5}) + y_4 = 1$
Выражаем $y_1$ через свободные переменные $y_2$ и $y_4$:
$2y_1 + 3y_2 - \frac{4}{5}y_4 - \frac{1}{5} + y_4 = 1$
$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac{4}{5}y_4 + \frac{1}{5} – y_4$
$2y_1 = -3y_2 - \frac{1}{5}y_4 + \frac{6}{5}$
$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$
Решение готово.
Пример 1
Решить слау методом Гаусса. Примеры. Пример решения системы линейных уравнений заданных матрицей 3 на 3 используя метод Гаусса
$\begin{cases} 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end{cases}$
Запишем нашу систему в виде расширенной матрицы:
$\begin{array}{ccc|c} 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end{array}$
Теперь для удобства и практичности нужно преобразовать матрицу так, чтобы в верхнем углу крайнего столбца была $1$.
Для этого к 1-ой строчке нужно прибавляем строчку из середины, умноженную на $-1$, а саму среднюю строчку записываем как есть, выходит:
$\begin{array}{ccc|c} -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end{array}$
$\begin{array}{ccc|c} -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end{array}$
Домножим верхнюю и последнюю строчки на $-1$, а также поменяем местами последнюю и среднюю строки:
$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end{array}$
$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end{array}$
И разделим последнюю строчку на $3$:
$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{array}$
Получаем следующую систему уравнений, равносильную исходной:
$\begin{cases} x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end{cases}$
Из верхнего уравнения выражаем $x_1$:
$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.
Пример 2
Пример решения системы, заданной с помощью матрицы 4 на 4 методом Гаусса
$\begin{array}{cccc|c} 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end{array}$.
В начале меняем местами верхнюю исследующую за ней строчки, чтобы получить в левом верхнем углу $1$:
$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end{array}$.
Теперь умножим верхнюю строчку на $-2$ и прибавим ко 2-ой и к 3-ьей. К 4-ой прибавляем 1-ую строку, домноженную на $-3$:
$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & -1 & 3 & -1 & 4 \\ \end{array}$
Теперь к строке с номером 3 прибавляем строку 2, умноженную на $4$, а к строке 4 прибавляем строку 2, умноженную на $-1$.
$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end{array}$
Домножаем строку 2 на $-1$, а строку 4 делим на $3$ и ставим на место строки 3.
$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end{array}$
Теперь прибавляем к последней строке предпоследнюю, домноженную на $-5$.
$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}$
Решаем полученную систему уравнений:
$\begin{cases} m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end{cases}$
Учреждение образования «Белорусская государственная
Сельскохозяйственная академия»
Кафедра высшей математики
по изучению темы «Метод Гаусса решения систем линейных
уравнений» студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО)
Горки, 2013
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Эквивалентные системы уравнений
Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если каждое решение одной из них является решением другой. Процесс решения системы линейных уравнений состоит в последовательном преобразовании её в эквивалентную систему с помощью так называемых элементарных преобразований , которыми являются:
1) перестановка любых двух уравнений системы;
2) умножение обеих частей любого уравнения системы на отличное от нуля число;
3) прибавление к любому уравнению другого уравнения, умноженного на любое число;
4) вычёркивание уравнения, состоящего из нулей, т.е. уравнения вида .
Гауссовы исключения
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:
Суть метода Гаусса или метода последовательного исключения неизвестных состоит в следующем.
Вначале с помощью элементарных преобразований исключается неизвестная из всех уравнений системы, кроме первого. Такие преобразования системы называются шагом гауссового исключения . Неизвестная называется разрешающей переменной на первом шаге преобразований. Коэффициент называется разрешающим коэффициентом , первое уравнение называется разрешающим уравнением , а столбец коэффициентов при разрешающим столбцом .
При выполнении одного шага гауссового исключения нужно пользоваться следующими правилами:
1) коэффициенты и свободный член разрешающего уравнения остаются неизменными;
2) коэффициенты разрешающего столбца, расположенные ниже разрешающего коэффициента, обращаются в нули;
3) все прочие коэффициенты и свободные члены при выполнении первого шага вычисляются по правилу прямоугольника:
, где i
=2,3,…,m
; j
=2,3,…,n
.
Аналогичные преобразования выполним и над вторым уравнением системы. Это приведёт к системе, у которой во всех уравнениях, кроме первых двух, будет исключена неизвестная . В результате таких преобразований над каждым из уравнений системы (прямой ход метода Гаусса) исходная система приводится к эквивалентной ей ступенчатой системе одного из следующих видов.
Обратный ход метода Гаусса
Ступенчатая система
имеет треугольный вид и все 
(i
=1,2,…,n
). Такая система имеет единственное решение. Неизвестные определяются, начиная с последнего уравнения (обратный ход метода Гаусса).
Ступенчатая система имеет вид
где , т.е. число уравнений системы меньше либо равно числу неизвестных. Эта система не имеет решений, так как последнее уравнение не будет выполняться ни при каких значениях переменной .
Ступенчатая система вида
имеет бесчисленное множество решений. Из последнего уравнения неизвестная выражается через неизвестные 
. Затем в предпоследнее уравнение вместо неизвестной подставляется её выражение через неизвестные . Продолжая обратный ход метода Гаусса, неизвестные 
можно выразить через неизвестные . В этом случае неизвестные называются свободными
и могут принимать любые значения, а неизвестные 
базисными.
При практическом решении систем удобно выполнять все преобразования не с системой уравнений, а с расширенной матрицей системы, состоящей из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов.
Пример 1
. Решить систему уравнений 
Решение . Составим расширенную матрицу системы и выполним элементарные преобразования:
.
В расширенной матрице системы число 3 (оно выделено) является разрешающим коэффициентом, первая строка является разрешающей строкой, а первый столбец – разрешающим столбцом. При переходе к следующей матрице разрешающая строка не изменяется, все элементы разрешающего столбца ниже разрешающего элемента заменяются нулями. А все другие элементы матрицы пересчитываются по правилу четырёхугольника. Вместо элемента 4 во второй строке запишем 
, вместо элемента -3 во второй строке будет записано 
и т.д. Таким образом, будет получена вторая матрица. У этой матрицы разрешающим элементом будет число 18 во второй строке. Для формирования следующей (третьей матрицы) вторую строку оставляем без изменения, в столбце под разрешающим элементом запишем нуль и пересчитаем оставшиеся два элемента: вместо числа 1 запишем 
, а вместо числа 16 запишем .
В результате исходная система свелась к эквивалентной системе
Из третьего уравнения находим 
. Подставим это значение во второе уравнение: 
y
=3. В первое уравнение подставим найденные значения y
и z
: 
, x
=2.
Таким образом, решением данной системы уравнений является x
=2, y
=3, 
.
Пример 2
. Решить систему уравнений 
Решение . Выполним элементарные преобразования над расширенной матрицей системы:
Во второй матрице каждый элемент третьей строки разделили на 2.
В четвёртой матрице каждый элемент третьей и четвёртой строки разделили на 11.
. Полученная матрица соответствует системе уравнений 
Решая данную систему, найдём 
, 
, .
Пример 3 . Решить систему уравнений
Решение . Запишем расширенную матрицу системы и выполним элементарные преобразования:
.
Во второй матрице каждый элемент второй, третьей и четвёртой строк разделили на 7.
В результате получена система уравнений
эквивалентная исходной.
Так как уравнений на два меньше, чем неизвестных, то из второго уравнения 
. Подставим выражение для в первое уравнение: , 
.
Таким образом, формулы 
дают общее решение данной системы уравнений. Неизвестные и являются свободными и могут принимать любые значения.
Пусть, например, 
Тогда 
и 
. Решение 
является одним из частных решений системы, которых бесчисленное множество.
Вопросы для самоконтроля знаний
1) Какие преобразования линейных систем называются элементарными?
2) Какие преобразования системы называются шагом гауссова исключения?
3) Что такое разрешающая переменная, разрешающий коэффициент, разрешающий столбец?
4) Какими правилами нужно пользоваться при выполнении одного шага гауссова исключения?
Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множество всех их решений совпадает.
Элементарные преобразования системы уравнений - это:
- Вычеркивание из системы тривиальных уравнений, т.е. таких, у которых все коэффициенты равны нулю;
- Умножение любого уравнения на число, отличное от нуля;
- Прибавление к любому i -му уравнению любого j -то уравнения, умноженного на любое число.
Переменная x i называется свободной, если эта переменная не является разрешенной, а вся система уравнений - является разрешенной.
Теорема. Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную.
Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему.
Итак, метод Гаусса состоит из следующих шагов:
- Рассмотрим первое уравнение. Выберем первый ненулевой коэффициент и разделим все уравнение на него. Получим уравнение, в которое некоторая переменная x i входит с коэффициентом 1;
- Вычтем это уравнение из всех остальных, умножая его на такие числа, чтобы коэффициенты при переменной x i в остальных уравнениях обнулились. Получим систему, разрешенную относительно переменной x i , и равносильную исходной;
- Если возникают тривиальные уравнения (редко, но бывает; например, 0 = 0), вычеркиваем их из системы. В результате уравнений становится на одно меньше;
- Повторяем предыдущие шаги не более n раз, где n - число уравнений в системе. Каждый раз выбираем для «обработки» новую переменную. Если возникают противоречивые уравнения (например, 0 = 8), система несовместна.
В результате через несколько шагов получим либо разрешенную систему (возможно, со свободными переменными), либо несовместную. Разрешенные системы распадаются на два случая:
- Число переменных равно числу уравнений. Значит, система определена;
- Число переменных больше числа уравнений. Собираем все свободные переменные справа - получаем формулы для разрешенных переменных. Эти формулы так и записываются в ответ.
Вот и все! Система линейных уравнений решена! Это довольно простой алгоритм, и для его освоения вам не обязательно обращаться к репетитору высшей по математике. Рассмотрим пример:
Задача. Решить систему уравнений:
Описание шагов:
- Вычитаем первое уравнение из второго и третьего - получим разрешенную переменную x 1 ;
- Умножаем второе уравнение на (−1), а третье уравнение делим на (−3) - получим два уравнения, в которых переменная x 2 входит с коэффициентом 1;
- Прибавляем второе уравнение к первому, а из третьего - вычитаем. Получим разрешенную переменную x 2 ;
- Наконец, вычитаем третье уравнение из первого - получаем разрешенную переменную x 3 ;
- Получили разрешенную систему, записываем ответ.
Общее решение совместной системы линейных уравнений - это новая система, равносильная исходной, в которой все разрешенные переменные выражены через свободные.
Когда может понадобиться общее решение? Если приходится делать меньше шагов, чем k (k - это сколько всего уравнений). Однако причин, по которым процесс заканчивается на некотором шаге l < k , может быть две:
- После l -го шага получилась система, которая не содержит уравнения с номером (l + 1). На самом деле это хорошо, т.к. разрешенная система все равно получена - даже на несколько шагов раньше.
- После l -го шага получили уравнение, в котором все коэффициенты при переменных равны нулю, а свободный коэффициент отличен от нуля. Это противоречивое уравнение, а, следовательно, система несовместна.
Важно понимать, что возникновение противоречивого уравнения по методу Гаусса - это достаточное основание несовместности. При этом заметим, что в результате l -го шага не может остаться тривиальных уравнений - все они вычеркиваются прямо в процессе.
Описание шагов:
- Вычитаем первое уравнение, умноженное на 4, из второго. А также прибавляем первое уравнение к третьему - получим разрешенную переменную x 1 ;
- Вычитаем третье уравнение, умноженное на 2, из второго - получим противоречивое уравнение 0 = −5.
Итак, система несовместна, поскольку обнаружено противоречивое уравнение.
Задача. Исследовать совместность и найти общее решение системы:
Описание шагов:
- Вычитаем первое уравнение из второго (предварительно умножив на два) и третьего - получим разрешенную переменную x 1 ;
- Вычитаем второе уравнение из третьего. Поскольку все коэффициенты в этих уравнениях совпадают, третье уравнение превратится в тривиальное. Заодно умножим второе уравнение на (−1);
- Вычитаем из первого уравнения второе - получим разрешенную переменную x 2 . Вся система уравнений теперь тоже разрешенная;
- Поскольку переменные x 3 и x 4 - свободные, переносим их вправо, чтобы выразить разрешенные переменные. Это и есть ответ.
Итак, система совместная и неопределенная, поскольку есть две разрешенных переменных (x 1 и x 2) и две свободных (x 3 и x 4).
Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. При помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной (то же самое, что треугольной или ступенчатой) или близкой к трапециевидной (прямой ход метода Гаусса, далее - просто прямой ход). Пример такой системы и её решения - на рисунке сверху.
В такой системе последнее уравнение содержит только одну переменную и её значение можно однозначно найти. Затем значение этой переменной подставляют в предыдущее уравнение (обратный ход метода Гаусса , далее - просто обратный ход), из которого находят предыдущую переменную, и так далее.
В трапециевидной (треугольной) системе, как видим, третье уравнение уже не содержит переменных y и x , а второе уравнение - переменной x .
После того, как матрица системы приняла трапециевидную форму, уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.
Преимущества метода:
- при решении систем линейных уравнений с числом уравнений и неизвестных более трёх метод Гаусса не такой громоздкий, как метод Крамера , поскольку при решении методом Гаусса необходимо меньше вычислений;
- методом Гаусса можно решать неопределённые системы линейных уравнений, то есть, имеющие общее решение (и мы разберём их на этом уроке), а, используя метод Крамера, можно лишь констатировать, что система неопределённа;
- можно решать системы линейных уравнений, в которых число неизвестных не равно числу уравнений (также разберём их на этом уроке);
- метод основан на элементарных (школьных) методах - методе подстановки неизвестных и методе сложения уравнений, которых мы коснулись в соответствующей статье.
Чтобы все прониклись простотой, с которой решаются трапециевидные (треугольные, ступенчатые) системы линейных уравнений, приведём решение такой системы с применением обратного хода. Быстрое решение этой системы было показано на картинке в начале урока.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений, применяя обратный ход:
Решение. В данной трапециевидной системе переменная z однозначно находится из третьего уравнения. Подставляем её значение во второе уравнение и получаем значение переменой y :
Теперь нам известны значения уже двух переменных - z и y . Подставляем их в первое уравнение и получаем значение переменной x :
Из предыдущих шагов выписываем решение системы уравнений:
Чтобы получить такую трапециевидную систему линейных уравнений, которую мы решили очень просто, требуется применять прямой ход, связанный с элементарными преобразованиями системы линейных уравнений. Это также не очень сложно.
Элементарные преобразования системы линейных уравнений
Повторяя школьный метод алгебраического сложения уравнений системы, мы выяснили, что к одному из уравнений системы можно прибавлять другое уравнение системы, причём каждое из уравнений может быть умножено на некоторые числа. В результате получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной. В ней уже одно уравнение содержало только одну переменную, подставляя значение которой в другие уравнений, мы приходим к решению. Такое сложение - один из видов элементарного преобразования системы. При использовании метода Гаусса можем пользоваться несколькими видами преобразований.
На анимации выше показано, как система уравнений постепенно превращается в трапециевидную. То есть такую, которую вы видели на самой первой анимации и сами убедились в том, что из неё просто найти значения всех неизвестных. О том, как выполнить такое превращение и, конечно, примеры, пойдёт речь далее.
При решении систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы можно :
- переставлять местами строки (это и было упомянуто в самом начале этой статьи);
- если в результате других преобразований появились равные или пропорциональные строки, их можно удалить, кроме одной;
- удалять "нулевые" строки, где все коэффициенты равны нулю;
- любую строку умножать или делить на некоторое число;
- к любой строке прибавлять другую строку, умноженное на некоторое число.
В результате преобразований получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной.
Алгоритм и примеры решения методом Гаусса системы линейных уравнений с квадратной матрицей системы
Рассмотрим сначала решение систем линейных уравений, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Матрица такой системы - квадратная, то есть в ней число строк равно числу столбцов.
Пример 2. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений
Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы почленно умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При сложении уравнений происходит исключение этой переменной. Аналогично действует и метод Гаусса.
Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицу системы :
В этой матрице слева до вертикальной черты расположены коэффициенты при неизвестных, а справа после вертикальной черты - свободные члены.
Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы . Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения:
С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений . Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую строку, умноженную на (в нашем случае на ), к третьей строке – первую строку, умноженную на (в нашем случае на ).
Это возможно, так как
Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.
В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго не содержат переменнную x :
Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на и получим вновь матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе:
Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую строку, умноженную на (в нашем случае на ).
Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.
В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений:
Мы получили эквивалентную данной трапециевидную систему линейных уравнений:
Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс последовательного исключения переменных продолжается до тех пор, пока матрица системы не станет трапециевидной, как в нашем демо-примере.
Решение найдём "с конца" - обратный ход
. Для этого из последнего уравнения определим z
:
.
Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдём y
:
Из первого уравнения найдём x
:
Ответ: решение данной системы уравнений - 
.
: в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение. Если же система имеет бесконечное множество решений, то таков будет и ответ, и это уже предмет пятой части этого урока.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение
Перед нами вновь пример совместной и определённой системы линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Отличие от нашего демо-примера из алгоритма - здесь уже четыре уравнения и четыре неизвестных.
Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Проведём подготовительные работы. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором столбце второй строки. Для этого из второй строки вычтем третью, а полученную в результате вторую строку умножим на -1.
Проведём теперь собственно исключение переменной из третьего и четвёртого уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой - вторую, умноженную на .
Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на . Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.
Получили систему уравнений, которой эквивалентна заданная система:
Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Окончательное решение находим «с конца». Из четвёртого уравнения непосредственно можем выразить значение переменной "икс четвёртое":
Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем
,
,
Наконец, подстановка значений
В первое уравнение даёт
,
откуда находим "икс первое":
Ответ: данная система уравнений имеет единственное решение 
.
Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера : в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение.
Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы
Системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. Решим одну из таких задач - на сплавы. Аналогичные задачи - задачи на смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и тому подобные.
Пример 5. Три куска сплава имеют общую массу 150 кг. Первый сплав содержит 60% меди, второй - 30%, третий - 10%. При этом во втором и третьем сплавах вместе взятых меди на 28,4 кг меньше, чем в первом сплаве, а в третьем сплаве меди на 6,2 кг меньше, чем во втором. Найти массу каждого куска сплава.
Решение. Составляем систему линейных уравнений:
Умножаем второе и третье уравнения на 10, получаем эквивалентную систему линейных уравнений:
Составляем расширенную матрицу системы:
Внимание, прямой ход. Путём сложения (в нашем случае - вычитания) одной строки, умноженной на число (применяем два раза) с расширенной матрицей системы происходят следующие преобразования:
Прямой ход завершился. Получили расширенную матрицу трапециевидной формы.
Применяем обратный ход. Находим решение с конца. Видим, что .
Из второго уравнения находим
Из третьего уравнения -
Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера : в этом случае будет выдан то же ответ, если система имеет однозначное решение.
О простоте метода Гаусса говорит хотя бы тот факт, что немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу на его изобретение потребовалось лишь 15 минут. Кроме метода его имени из творчества Гаусса известно изречение "Не следует смешивать то, что нам кажется невероятным и неестественным, с абсолютно невозможным" - своего рода краткая инструкция по совершению открытий.
Во многих прикладных задачах может и не быть третьего ограничения, то есть, третьего уравнения, тогда приходится решать методом Гаусса систему двух уравнений с тремя неизвестными, или же, наоборот - неизвестных меньше, чем уравнений. К решению таких систем уравнений мы сейчас и приступим.
С помощью метода Гаусса можно установить, совместна или несовместна любая система n линейных уравнений с n переменными.
Метод Гаусса и системы линейных уравнений, имеющие бесконечное множество решений
Следующий пример - совместная, но неопределённая система линейных уравнений, то есть имеющая бесконечное множество решений.
После выполнения преобразований в расширенной матрице системы (перестановки строк, умножения и деления строк на некоторое число, прибавлению к одной строке другой) могли появиться строки вида
Если во всех уравнениях имеющих вид
Свободные члены равны нулю, то это означает, что система неопределённа, то есть имеет бесконечное множество решений, а уравнения этого вида – «лишние» и их исключаем из системы.
Пример 6.
Решение. Составим расширенную матрицу системы. Затем с помощью первого уравнения исключим переменную из последующих уравнений. Для этого ко второй, третьей и четвёртой строкам прибавим первую, умноженную соответственно на :
Теперь вторую строку прибавим к третьей и четвёртой.
В результате приходим к системе
Последние два уравнения превратились в уравнения вида . Эти уравнения удовлетворяются при любых значениях неизвестных и их можно отбросить.
Чтобы удовлетворить второму уравнению, мы можем для и
выбрать произвольные значения
, тогда значение для
определится уже однозначно: 
. Из первого уравнения
значение для также находится
однозначно: 
.
Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы
при произвольных и дают нам все решения заданной системы.
Метод Гаусса и системы линейных уравнений, не имеющие решений
Следующий пример - несовместная система линейных уравнений, то есть не имеющая решений. Ответ на такие задачи так и формулируется: система не имеет решений.
Как уже говорилось в связи с первым примером, после выполнения преобразований в расширенной матрице системы могли появиться строки вида
соответствующие уравнению вида
Если среди них есть хотя бы одно уравнение с отличным от нуля свободным членом (т.е. ), то данная система уравнений является несовместной, то есть не имеет решений и на этом её решение закончено.
Пример 7. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:
Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную . Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на , к третьей строке - первую, умноженную на , к четвёртой - первую, умноженную на .
Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Чтобы получить целые отношения коэффициентов, поменяем местами вторую и третью строки расширенной матрицы системы.
Для исключения из третьего и четвёртого уравнения к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой - вторую, умноженную на .
Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на .
Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:
Полученная система несовместна, так как её последнее уравнение не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных. Следовательно, данная система не имеет решений.
