Деление натуральных чисел столбиком, примеры, решения. Смотреть что такое "делиться" в других словарях
Ко мне неоднократно приходили клиенты, которых волновал один вопрос: почему из раза в раз у них в отношениях повторяется один и тот же сценарий? Вроде поступаешь по-другому, но… всё равно отношения заканчиваются одинаково неудачно. Как в прошлый раз, как в позапрошлый. Спустя 2-3 попытки появляются подозрения, что с тобой что-то не так. Может быть, это та самая несудьба? Я не верю в судьбу или в то, что для кого-то однозначно предначертано быть одиноким. Я верю в то, что отношениям мешают конкретные проблемы в общении. Определим и изменим вредную закономерность.
Проблемные отношения попадаются с широким спектром проблем. Среди них скандалы, взаимные претензии, непонимание, недоступность, недовольство, недоверие, нарциссизм, токсические отношения, психологическое и физическое насилие (абьюз), злоупотребление алкоголем и наркотиками и проч. и проч. В конце концов пара приходит к расставанию. Если такое случается один раз — это авария, несчастный случай. Но что если это становится постоянными «граблями»?
Я не претендую, что я рассмотрю все возможные варианты. Я расскажу о тех, которые попадаются чаще.
Начнем с первых трех:
- страх близости
- привычка
- сценарий Требование/Отдаление
Страх близости как бумеранг, который возвращается
Интимность в отношениях — это эмоциональная близость к партнеру. Разрешение своему внутреннему охраннику расслабиться и опустить оружие. Вы можете открыто делиться своими чувствами и спокойно принимать чувства партнера, в том числе и негативные. Делиться внутренним миром.
Если один человек в паре боится близости, потому что раньше был сильно уязвлен или пережил эмоциональную травму, то он или отвергает близость, или выбирает в партнеры такого же, как он сам.
В этих случаях отношения лишены теплоты и открытости. Второй человек чувствует себя вроде как в паре, но при этом вроде как и в одиночестве. Эмоции — светофор, который показывает, куда ехать, поэтому обсуждение того, что ты чувствуешь, помогает понять поведение другого . Если нет ни того, ни другого, остается только гадать, или … уходить. Неудовлетворенность отношениями либо у одного из пары, либо у обоих, приводит к расставанию.
Что делать?
Интимность не появляется сама по себе из ниоткуда — над ней работают . Некоторым приходится работать больше и дольше, чем другим. Вот примерные направления:
- заведите за правило выражать положительные эмоции по поводу ваших отношений и вашего партнера. Не стоит предполагать, что он и так знает, зачем говорить. Говорить нужно, потому что каждому важно знать из первоисточника, что его ценят, любят и уважают.
- создавайте условия для возможности побыть вдвоем. Кому-то важно поговорить, кому-то прикасаться друг к другу, кому-то — поиграть в шахматы, кто-то любит гулять — на ваш выбор. Чем больше у вас маленьких детей, тем важнее этот пункт.
- научитесь выражать чувства с помощью Я-сообщений. Не говорите: «Почему ты не предупредил меня?!» Скажите так: «Мне так обидно, потому что я хотела узнать об этом первой» .
Привычное поведение, в том числе и в мыслях
Привычка — вторая натура, слышали? Это же касается и того, как мы думаем. Да, да, если много лет подряд думать определенным образом, то разовьется привычный шаблон, который срабатывает первым.
Приведу пример: прошел час, но муж так и не ответил на смс. Какие возможные варианты объяснения, почему?
- «Что если с ним что-то случилось?!»
- «Ему плевать на то, что я пишу!»
- «Я ему интересна меньше, чем то, чем он занимается…»
- «Он наверняка опять с кем-то там весело флиртует!»
- «Он на совещании (в дороге и пр.)»
- «Ответит, когда сможет».
Вы видите, что каждый вариант ведет к конкретным эмоциям, а те, в свою очередь — к действиям?
Один вариант будет для вас более знакомый , чем остальные. Он будет срабатывать быстрее и будет казаться, что он похож на правду. Тем более, что ежедневно мы автоматически делаем привычные действия тысячу раз, так что это становится тысяча первым.
Реагировать по-другому — чувствуется чужеродным и не похожим на правду. Даже если человек понимает, что привычный путь не приводит ни к чему положительному для обеих сторон, он всё равно продолжает выбирать именно этот вариант.
Привычка формируется, если поведение дает вознаграждение, выгоду. Пример: если битье посуды дает кратковременное облегчение от сильных негативных эмоций, велик шанс повтора. Человек швыряет чашки снова и снова, даже если потом стыдится и понимает, что так делать не стоило.
Что делать?
Определить привычные шаблоны: самостоятельно или с помощью психотерапевта. Попробовать понять, задействована ли выгода, и, если да, то какая и что с ней делать. Планомерно работать над выбором конструктивных и устраивающих форм поведения.
Сценарий Требование/Отдаление (Demand/Withdraw)
Есть одна любопытная теория о проблематичном и токсичном сценарии в отношениях (Papp, Kouros, Cummings).
Вкратце, в чем суть: партнеры вовлекаются в диалог по определенным правилам, один играет роль требующего, а второй — отдаляющегося .
Ловушка заключается в том, что чем больше один партнер требует, тем больше отдаляется второй. Заметив это, требующий усиливает претензии и запросы, а отдаляющийся еще сильнее увеличивает дистанцию. Картинка для иллюстрации типична: жена, с поднятыми руками и перекошенным лицом, что-то кричит, а муж, со скрещенными на груди руками и с бетонным выражением лица, смотрит в окно.
Плохая новость заключается в том, что роли в этом сценарии задает тот, кто начинает. Если он в депрессии, то вероятность развития сценария Требование/Отдаление повышается. Неуверенные в себе люди тоже быстро вовлекаются в этот сценарий. Люди с избегающими чертами личности или с избегающим типом привязанности сильнее реагируют по типу «отдаление». Чем больше на них злится их партнер, тем еще большую дистанцию они занимают.
Ещё влияет распределение власти в паре: чем меньше решений принимает один партнер, чем меньше у него возможности участвовать в жизни пары, тем выше вероятность, что он возьмет требующую роль и его требования будут высоки.
Бывает, что сценарий проявляется лишь в определенных темах: привычки, сексуальные предпочтения, взаимные обещания, личность и характер. Иногда проявляется в разговорах о деньгах.
Что делать?
Знать о существовании сценария. Когда он появится, попробуйте остановиться: или перестаньте требовать, или перестаньте отдаляться. Существуют более конструктивные способы взаимодействия.
Деление натуральных чисел, особенно многозначных, удобно проводить особым методом, который получил название деление столбиком (в столбик) . Также можно встретить название деление уголком . Сразу отметим, что столбиком можно проводить как деление натуральных чисел без остатка , так и деление натуральных чисел с остатком .
В этой статье мы разберемся, как выполняется деление столбиком. Здесь мы поговорим и о правилах записи, и о всех промежуточных вычислениях. Сначала остановимся на делении столбиком многозначного натурального числа на однозначное число. После этого остановимся на случаях, когда и делимое и делитель являются многозначным натуральными числами. Вся теория этой статьи снабжена характерными примерами деления столбиком натуральных чисел с подробными пояснениями хода решения и иллюстрациями.
Навигация по странице.
Правила записи при делении столбиком
Начнем с изучения правил записи делимого, делителя, всех промежуточных выкладок и результатов при делении натуральных чисел столбиком. Сразу скажем, что письменно выполнять деление столбиком удобнее всего на бумаге с клетчатой разлиновкой – так меньше шансов сбиться с нужной строки и столбца.
Сначала в одной строке слева направо записываются делимое и делитель, после чего между записанными числами изображается символ вида . Например, если делимым является число 6 105
, а делителем – 5
5, то их правильная запись при делении в столбик будет такой:
Посмотрите на следующую схему, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного, остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком.
Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное при делении с остатком) будет записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже делимого, и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше потребуется места. Например, при делении столбиком натурального числа 614 808
на 51 234
(614 808
– шестизначное число, 51 234
– пятизначное число, разница в количестве знаков в записях равна 6−5=1
) для промежуточных вычислений потребуется меньше места, чем при делении чисел 8 058
и 4
(здесь разница в количестве знаков равна 4−1=3
). Для подтверждения своих слов приводим законченные записи деления столбиком этих натуральных чисел:
Теперь можно переходить непосредственно к процессу деления натуральных чисел столбиком.
Деление столбиком натурального числа на однозначное натуральное число, алгоритм деления столбиком
Понятно, что разделить одно однозначное натуральное число на другое достаточно просто, и делить эти числа в столбик нет причин. Однако будет полезно отработать начальные навыки деления столбиком на этих простых примерах.
Пример.
Пусть нам нужно разделить столбиком 8 на 2 .
Решение.
Конечно, мы можем выполнить деление при помощи таблицы умножения , и сразу записать ответ 8:2=4 .
Но нас интересует, как выполнить деление этих чисел столбиком.
Сначала записываем делимое 8
и делитель 2
так, как того требует метод:
Теперь мы начинаем выяснять, сколько раз делитель содержится в делимом. Для этого мы последовательно умножаем делитель на числа 0 , 1 , 2 , 3 , … до того момента, пока в результате не получим число, равное делимому, (либо число большее, чем делимое, если имеет место деление с остатком). Если мы получаем число равное делимому, то сразу записываем его под делимым, а на место частного записываем число, на которое мы умножали делитель. Если же мы получаем число большее, чем делимое, то под делителем записываем число, вычисленное на предпоследнем шаге, а на место неполного частного записываем число, на которое умножался делитель на предпоследнем шаге.
Поехали: 2·0=0
; 2·1=2
; 2·2=4
; 2·3=6
; 2·4=8
. Мы получили число, равное делимому, поэтому записываем его под делимым, а на место частного записываем число 4
. При этом запись примет следующий вид:
Остался завершающий этап деления однозначных натуральных чисел столбиком. Под числом, записанным под делимым, нужно провести горизонтальную черту, и провести вычитание чисел над этой чертой так, как это делается при вычитании натуральных чисел столбиком . Число, получающееся после вычитания, будет остатком от деления. Если оно равно нулю, то исходные числа разделились без остатка.
В нашем примере получаем
Теперь перед нами законченная запись деления столбиком числа 8 на 2 . Мы видим, что частное 8:2 равно 4 (и остаток равен 0 ).
Ответ:
8:2=4 .
Теперь рассмотрим, как осуществляется деление столбиком однозначных натуральных чисел с остатком.
Пример.
Разделим столбиком 7 на 3 .
Решение.
На начальном этапе запись выглядит так:
Начинаем выяснять, сколько раз в делимом содержится делитель. Будем умножать 3
на 0
, 1
, 2
, 3
и т.д. до того момента, пока не получим число равное или большее, чем делимое 7
. Получаем 3·0=0<7
; 3·1=3<7
; 3·2=6<7
; 3·3=9>7
(при необходимости обращайтесь к статье сравнение натуральных чисел). Под делимым записываем число 6
(оно получено на предпоследнем шаге), а на место неполного частного записываем число 2
(на него проводилось умножение на предпоследнем шаге).
Осталось провести вычитание, и деление столбиком однозначных натуральных чисел 7
и 3
будет завершено.
Таким образом, неполное частное равно 2 , и остаток равен 1 .
Ответ:
7:3=2 (ост. 1) .
Теперь можно переходить к делению столбиком многозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа.
Сейчас мы разберем алгоритм деления столбиком . На каждом его этапе мы будем приводить результаты, получающиеся при делении многозначного натурального числа 140 288 на однозначное натуральное число 4 . Этот пример выбран не случайно, так как при его решении мы столкнемся со всеми возможными нюансами, сможем подробно разобрать их.
Сначала мы смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Если число, определяемое этой цифрой, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого, и работать дальше с числом, определяемым двумя рассматриваемыми цифрами. Для удобства выделим в нашей записи число, с которым мы будем работать.
Первой слева цифрой в записи делимого 140 288
является цифра 1
. Число 1
меньше, чем делитель 4
, поэтому смотрим еще и на следующую слева цифру в записи делимого. При этом видим число 14
, с которым нам и предстоит работать дальше. Выделяем это число в записи делимого.
Следующие пункты со второго по четвертый повторяются циклически, пока деление натуральных чисел столбиком не будет завершено.
Сейчас нам нужно определить, сколько раз делитель содержится в числе, с которым мы работаем (для удобства обозначим это число как x ). Для этого последовательно умножаем делитель на 0 , 1 , 2 , 3 , … до того момента, пока не получим число x или число больше, чем x . Когда получается число x , то мы записываем его под выделенным числом по правилам записи, используемым при вычитании столбиком натуральных чисел. Число, на которое проводилось умножение, записывается на место частного при первом проходе алгоритма (при последующих проходах 2-4 пунктов алгоритма это число записывается правее уже находящихся там чисел). Когда получается число, которое больше числа x , то под выделенным числом записываем число, полученное на предпоследнем шаге, а на место частного (или правее уже находящихся там чисел) записываем число, на которое проводилось умножение на предпоследнем шаге. (Аналогичные действия мы проводили в двух примерах, разобранных выше).
Умножаем делитель 4
на числа 0
, 1
, 2
, …, пока не получим число, которое равно 14
или больше 14
. Имеем 4·0=0<14
, 4·1=4<14
, 4·2=8<14
, 4·3=12<14
, 4·4=16>14
. Так как на последнем шаге мы получили число 16
, которое больше, чем 14
, то под выделенным числом записываем число 12
, которое получилось на предпоследнем шаге, а на место частного записываем число 3
, так как в предпоследнем пункте умножение проводилось именно на него.
На этом этапе из выделенного числа вычитаем столбиком число, расположенное под ним. Под горизонтальной линией записывается результат вычитания. Однако, если результатом вычитания является нуль, то его не нужно записывать (если только вычитание в этом пункте не является самым последним действием, полностью завершающим процесс деления столбиком). Здесь же для своего контроля не лишним будет сравнить результат вычитания с делителем и убедиться, что он меньше делителя. В противном случае где-то была допущена ошибка.
Нам нужно вычесть столбиком из числа 14
число 12
(для корректности записи нужно не забыть поставить знак «минус» слева от вычитаемых чисел). После завершения этого действия под горизонтальной чертой оказалось число 2
. Теперь проверяем свои вычисления, сравнивая полученное число с делителем. Так как число 2
меньше делителя 4
, то можно спокойно переходить к следующему пункту.
Теперь под горизонтальной чертой справа от находящихся там цифр (или справа от места, где мы не стали записывать нуль) записываем цифру, расположенную в том же столбце в записи делимого. Если же в записи делимого в этом столбце нет цифр, то деление столбиком на этом заканчивается. После этого выделяем число, образовавшееся под горизонтальной чертой, принимаем его в качестве рабочего числа, и повторяем с ним со 2 по 4 пункты алгоритма.
Под горизонтальной чертой справа от уже имеющейся там цифры 2
записываем цифру 0
, так как именно цифра 0
находится в записи делимого 140 288
в этом столбце. Таким образом, под горизонтальной чертой образуется число 20
.
Это число 20
мы выделяем, принимаем в качестве рабочего числа, и повторяем с ним действия второго, третьего и четвертого пунктов алгоритма.
Умножаем делитель 4
на 0
, 1
, 2
, …, пока не получим число 20
или число, которое больше, чем 20
. Имеем 4·0=0<20
, 4·1=4<20
, 4·2=8<20
, 4·3=12<20
, 4·4=16<20
, 4·5=20
. Так как мы получили число, равное числу 20
, то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3
записываем число 5
(на него производилось умножение).
Проводим вычитание столбиком. Так как мы вычитаем равные натуральные числа, то в силу свойства вычитания равных натуральных чисел в результате получаем нуль. Нуль мы не записываем (так как это еще не завершающий этап деления столбиком), но запоминаем место, на котором мы его могли записать (для удобства это место мы отметим черным прямоугольником).
Под горизонтальной линией справа от запомненного места записываем цифру 2
, так как именно она находится в записи делимого 140 288
в этом столбце. Таким образом, под горизонтальной чертой мы имеем число 2
.
Число 2
принимаем за рабочее число, отмечаем его, и нам еще раз придется выполнить действия из 2-4
пунктов алгоритма.
Умножаем делитель на 0
, 1
, 2
и так далее, и сравниваем получающиеся числа с отмеченным числом 2
. Имеем 4·0=0<2
, 4·1=4>2
. Следовательно, под отмеченным числом записываем число 0
(оно было получено на предпоследнем шаге), а на месте частного справа от уже имеющегося там числа записываем число 0
(на 0
мы проводили умножение на предпоследнем шаге).
Выполняем вычитание столбиком, получаем число 2
под горизонтальной чертой. Проверяем себя, сравнивая полученное число с делителем 4
. Так как 2<4
, то можно спокойно двигаться дальше.
Под горизонтально чертой справа от числа 2 дописываем цифру 8
(так как она находится в этом столбце в записи делимого 140 288
). Таким образом, под горизонтальной линией оказывается число 28
.
Принимаем это число в качестве рабочего, отмечаем его, и повторяем действия 2-4
пунктов.
Здесь никаких проблем возникнуть не должно, если Вы были внимательны до настоящего момента. Проделав все необходимые действия, получается следующий результат.
Осталось последний раз провести действия из пунктов 2
, 3
, 4
(предоставляем это Вам), после чего получится законченная картина деления натуральных чисел 140 288
и 4
в столбик:
Обратите внимание, что в самой нижней строчке записано число 0 . Если бы это был не последний шаг деления столбиком (то есть, если бы в записи делимого в столбцах справа оставались цифры), то этот нуль мы бы не записывали.
Таким образом, посмотрев на законченную запись деления многозначного натурального числа 140 288 на однозначное натуральное число 4 , мы видим, что частным является число 35 072 , (а остаток от деления равен нулю, он находится в самой нижней строке).
Конечно же, при делении натуральных чисел столбиком Вы не будете настолько подробно описывать все свои действия. Ваши решения будут выглядеть примерно так, как в следующих примерах.
Пример.
Выполните деление в столбик, если делимое равно 7 136 , а делителем является однозначное натуральное число 9 .
Решение.
На первом шаге алгоритма деления натуральных чисел столбиком мы получим запись вида
После выполнения действий из второго, третьего и четвертого пунктов алгоритма запись деления столбиком примет вид
Повторив цикл, будем иметь
Еще один проход дет нам законченную картину деления столбиком натуральных чисел 7 136
и 9
Таким образом, неполное частное равно 792 , а остаток от деления равен 8 .
Ответ:
7 136:9=792 (ост. 8) .
А этот пример демонстрирует, как должно выглядеть деление в столбик.
Пример.
Разделите натуральное число 7 042 035 на однозначное натуральное число 7 .
Решение.
Удобнее всего выполнить деление столбиком.
Ответ:
7 042 035:7=1 006 005 .
Деление столбиком многозначных натуральных чисел
Поспешим Вас обрадовать: если Вы хорошо усвоили алгоритм деления столбиком из предыдущего пункта этой статьи, то Вы уже почти умеете выполнять деление столбиком многозначных натуральных чисел . Это действительно так, так как со 2 по 4 этапы алгоритма остаются неизменными, а в первом пункте появляются лишь незначительные изменения.
На первом этапе деления в столбик многозначных натуральных чисел нужно смотреть не на первую слева цифру в записи делимого, а на такое их количество, сколько знаков содержится в записи делителя. Если число, определяемое этими цифрами, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого. После этого выполняются действия, указанные во 2 , 3 и 4 пункте алгоритма до получения конечного результата.
Осталось лишь посмотреть применение алгоритма деления столбиком многозначных натуральных чисел на практике при решении примеров.
Пример.
Выполним деление столбиком многозначных натуральных чисел 5 562 и 206 .
Решение.
Так как в записи делителя 206
участвуют 3
знака, то смотрим на первые 3
цифры слева в записи делимого 5 562
. Эти цифры соответствуют числу 556
. Так как 556
больше, чем делитель 206
, то число 556
принимаем в качестве рабочего, выделяем его, и переходим к следующему этапу алгоритма.
Теперь умножаем делитель 206
на числа 0
, 1
, 2
, 3
, … до того момента, пока не получим число, которое либо равно 556
, либо больше, чем 556
. Имеем (если умножение выполняется сложно, то лучше выполнять умножение натуральных чисел столбиком): 206·0=0<556
, 206·1=206<556
, 206·2=412<556
, 206·3=618>556
. Так как мы получили число, которое больше числа 556
, то под выделенным числом записываем число 412
(оно было получено на предпоследнем шаге), а на место частного записываем число 2
(так как на него проводилось умножение на предпоследнем шаге). Запись деления столбиком принимает следующий вид:
Выполняем вычитание столбиком. Получаем разность 144
, это число меньше делителя, поэтому можно спокойно продолжать выполнение требуемых действий.
Под горизонтальной линией справа от имеющегося там числа записываем цифру 2
, так как она находится в записи делимого 5 562
в этом столбце:
Теперь мы работаем с числом 1 442
, выделяем его, и проходим пункты со второго по четвертый еще раз.
Умножаем делитель 206
на 0
, 1
, 2
, 3
, … до получения числа 1 442
или числа, которое больше, чем 1 442
. Поехали: 206·0=0<1 442
, 206·1=206<1 442
, 206·2=412<1 332
, 206·3=618<1 442
, 206·4=824<1 442
, 206·5=1 030<1 442
, 206·6=1 236<1 442
, 206·7=1 442
. Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442
, а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7
:
Проводим вычитание столбиком, получаем нуль, но сразу его не записываем, а лишь запоминаем его позицию, потому что не знаем, завершается ли на этом деление, или придется еще раз повторять шаги алгоритма:
Теперь мы видим, что под горизонтальную черту правее запомненной позиции мы не можем записать никакого числа, так как в записи делимого в этом столбце нет цифр. Следовательно, на этом деление столбиком закончено, и мы завершаем запись:
- Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
- Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.
На этом уроке вы повторите все, что знаете об арифметических действиях. Вам уже известны четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение, деление. Также на этом уроке мы рассмотрим все правила, связанные с ними, и способы проверки вычислений. Вы узнаете о свойствах сложения и умножения, рассмотрите особые случаи различных арифметических действий.
Сложение обозначают знаком «+». Выражение, в котором числа соединены знаком «+», называют суммой. Каждое число имеет название: первое слагаемое, второе слагаемое. Если выполнить действие сложения, то получим значение суммы.
Например, в выражении:
Это первое слагаемое, - второе слагаемое.
Значит, значение суммы равно .
Вспомним особые случаи сложения c числом 0:
Если одно из двух слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому.
Найдите значение суммы:
Решение
Если одно из двух слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому, поэтому получаем:
1. 
2. 
Ответ: 1. 237; 2. 541.
Повторим два свойства сложения.
Переместительное свойство сложения : от перестановки слагаемых сумма не изменяется.
Например:
Сочетательное свойство сложения : два соседних слагаемых можно заменять их суммой.
Например:
Используя эти два свойства, слагаемые можно переставлять и группировать любыми способами.
Вычислить удобным способом:
Решение
Рассмотрим слагаемые этого выражения. Определим, есть ли такие, при сложении которых получится круглое число.
Воспользуемся переместительным свойством сложения - переставим второе и третье слагаемое.
Воспользуемся группировкой первого и второго слагаемых, третьего и четвертого слагаемых.
Ответ: 130.
Вычитание обозначают знаком «-». Числа, соединенные знаком минус, образуют разность.
Каждое число имеет название. Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым. Число, которое вычитают, называется вычитаемым.
Если выполнить действие вычитание, то получим значение разности.
Если один из двух множителей равен единице, то значение произведение равно другому множителю.
Если один из множителей равен нулю, то значение произведения равно нулю.
Если из числа вычесть ноль, то получится число, из которого вычитали.
Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то разность равна нулю.
Вычислите удобным способом:
Решение
В первом выражении из числа вычитают ноль. Соответственно, получится число, из которого вычитали.
1. 
Во втором выражении уменьшаемое и вычитаемое равны, соответственно, разность равна нулю.
2. 
Ответ: 1. 1864; 2. 0.
Известно, что сложение и вычитание - это взаимообратные действия.
Выполните проверку вычислений:
1. 
2. 
Решение
Проверим, верно ли выполнено сложение. Известно, что если из значения суммы вычесть значение одного из слагаемых, то получится другое слагаемое. Вычтем из значения суммы первое слагаемое:
Сравним полученный результат со вторым слагаемым. Числа одинаковые. Значит, вычисления были выполнены верно.
Также можно было вычесть из значения суммы второе слагаемое.
Сравним полученный результат с первым слагаемым. Числа равны, значит, вычисления выполнены верно.
Проверим, верно ли выполнено вычитание. Известно, если к значению разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое. Прибавим к значению разности вычитаемое:
Полученный результат и уменьшаемое совпадают, то есть вычитание было выполнено верно.
Есть другой способ проверки. Если из уменьшаемого вычесть значение разности, получится вычитаемое. Проверим вычитание вторым способом.
Полученный результат совпадает с вычитаемым, значит, значение разности было найдено верно.
Ответ: 1. верно; 2. верно.
Для обозначения действия умножения используют два знака: «», «». Числа, соединенные знаком умножения, образуют произведение.
Каждое число имеет название: первый множитель, второй множитель.
Например:
При этом - это первый множитель, - второй множитель.
Также известно, что умножение заменяет сумму одинаковых слагаемых.
Первый множитель показывает, какое слагаемое повторяется. Второй множитель показывает, сколько раз повторяется это слагаемое.
Если выполнить действие умножения, получим значение произведения.
Найти значение выражений:
Решение
Рассмотрим первое произведение. Первый множитель равен единице, значит, произведение равно другому множителю.
Рассмотрим второе произведение. Второй множитель равен нулю, значит, значение произведения равно нулю.
Ответ: 1. 365; 2. 0.
Переместительное свойство умножения.
От перестановки множителей произведение не изменяется.
Сочетательное свойство умножения.
Два соседних множителя можно заменять их произведением.
Используя эти два свойства, множители можно переставлять и группировать любыми способами.
Распределительное свойство умножения.
При умножении суммы на число можно умножить на него каждое слагаемое в отдельности и полученные результаты сложить.
Вычислите удобным способом:
Решение
Рассмотрим внимательно множители. Определим, есть ли такие, при умножении которых получается круглое число.
Воспользуемся перестановкой множителей, а затем сгруппируем их.
Ответ: 2100.
Для обозначения действия деления используют следующие знаки:
Числа, соединенные знаком деления, образуют частное. Первое число в записи - то, которое делят, - называют делимым. Второе число в записи - то, на которое делят, - называют делителем.
Если выполнить действие деления, получим значение частного.
Умножение и деление - это взаимообратные действия.
Выполните проверку исчислений:
2. 
Решение
Известно, что, если значение произведения разделить на один из множителей, получится второй множитель.
Для проверки правильности умножения разделим произведение на первый множитель.
Полученный результат совпадает со вторым множителем, значит, умножение было выполнено верно.
Также можно значение произведения разделить на второй множитель.
Полученное значение частного совпадает со значением первого множителя. Значит, умножение выполнено верно.
Проверим правильность деления умножением. Если значение частного умножить на делитель, получится делимое.
Умножим значение частного на делитель.
Сравним полученный результат с делителем. Числа совпадают, значит, деление выполнено верно.
Результат деления можно проверить и другим способом.
Если делимое разделить на значение частного, получится делитель.
Результат совпадает с делителем. Значит, деление выполнено верно.
Ответ: 1. верно; 2. верно.
Если ноль разделить на любое другое число, получится ноль.
На ноль делить нельзя.
Если число разделить на 1, то получится число, которое делили.
Если делимое и делитель равны, то частное равно одному.
На этом уроке мы вспоминали следующие арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление. Также мы повторили различные свойства данных действий и особые случаи, связанные с ними.
Список литературы
- Волкова. С.И. Математика. Проверочные работы 4 класс к учебнику Моро М.И, Волкова С.И. 2011. - М.: Просвещение, 2011.
- Моро М.И. Математика. 4 класс. В 2-х ч. Часть 1. - М.: Просвещение, 2011.
- Моро М.И. Математика. 4 класс. В 2-х ч. Часть 2. - М.: Просвещение, 2011.
- Рудницкая В.Н. Тесты по математике. 4класс. К учебнику Моро М.И. 2011. - М.: Экзамен, 2011.
- Mat-zadachi.ru ().
- Videouroki.net ().
- Festival.1september.ru ().
Домашнее задание
- Учебник: Волкова. С.И. Математика. Проверочные работы 4 класс к учебнику Моро М.И, Волкова С.И. 2011. - М.: Просвещение, 2011.
- Проверочная работа № 1 Вариант 1 стр. 6.
- Учебник: Рудницкая В.Н. Тесты по математике. 4 класс. К учебнику Моро М.И. 2011. - М.: Экзамен, 2011.
- Упр. 11 стр. 9.
Разделы: Математика
Класс: 6
Цели урока
:
1. Образовательные: повторение, обобщение и проверка знаний по теме: «Делимость натуральных чисел »; выработка основных навыков.
2. Развивающие: развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
3. Воспитательные: посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
Задачи урока:
Формировать умения применять понятие делителей и кратных; развивать мышление и элементы творческой деятельности; применять признаки делимости в простейших ситуациях; нахождение НОД и НОК чисел, развивать наблюдательность и логическое мышление.
Тип урока
– комбинированный.
Форма урока
– урок с компьютерной поддержкой.
Оборудование:
1. Доска и мел.
2. Компьютер и проектор.
3. Бумажный вариант всех заданий.
Ход урока.
Числа правят миром.
Пифагор.
1. Организационный момент.
2. Сообщение цели урока.
3. Актуализация опорных знаний.
1. Что называется делителем числа а
?
2. Что называется кратным числа а
?
3. Существует ли наибольшее кратное число?
4. Сформулировать признаки делимости?
5. Какие числа называются простыми, а какие составными?
(Сообщение учащихся о Пифагоре, о Эратосфене, о Евклиде)
Исторические сведения:
| Евклид – древнегреческий ученый (365 – 300 г до н.э). О жизни этого великого ученого известно очень мало. Он жил и трудился в Александрии, городе, основанном Александром Македонским. С именем Евклида связано много легенд. Одна из них рассказывает, что царь Птолемей спросил Евклида: « Нет ли более короткого пути к познанию геометрии?», - на что ученый ответил: « Нет царской дороги в геометрию!». Евклид много занимался теорией чисел: именно он доказал, что простых чисел бесконечно много. Алгоритм нахождения НОД двух чисел, называется алгоритмом Евклида. Древнегреческий математик Евклид в свой книге « Начала», которая была на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т.е. за каждым простым числом есть еще более простое число. |
| Пифагор (6 век до н.э.) и его ученики изучили вопрос о делимости чисел. Число равное сумме всех его делителей (без самого числа) , они назвали совершенным числом. Например число 6 (6 = 1 + 2 + 3) , 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные числа 496, 8128, 33550336 Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвертое 8128 стало известно в І веке до н.э. Пятое число 33550336 было найдено в 15 веке. К 1983 г. Было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор ученые не знают, есть ли нечетное совершенное число, есть ли самое большое совершенное число. Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое натуральное число, больше 1 , либо простое число, либо может быть составлено в виде произведения простых чисел: 14 = 2∙ 7, 16 = 2∙2 ∙2∙2 Возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число? |
Задача: Задумано простое число. Следующее за ним натуральное число тоже простое. О каких числах идет речь?
Ответ: 2,3.
6. Какие числа называются взаимно простыми?
7. Объяснить, как найти НОД (НОК) двух чисел.
(Сообщение учащегося о нахождении НОД двух чисел)
Однажды числа 24 и 60 поспорили о том, как им найти НОД. Число 24 утверждало, что сначала надо найти среди всех делителей общие числа, а потом выбрать из них наибольшее число. А число 60 возражало:
- Ну что ты! Мне такой способ не нравится. У меня слишком много делителей, и при их перечислении я могу пропустить какой-нибудь. А вдруг он окажется наибольшим? Нет мне такой способ не нравится. И решили они обратиться за помощью к магистру ДЕЛЕНЧЕСКИХ наук. И магистр им ответил:
- Да 24, твой способ нахождения НОД чисел можно использовать, но это не всегда удобно. А можно найти НОД по-другому.
Нужно 24 и 60 разложить на простые множители.
| 24 | 2 |
| 12 | 2 |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 |
| 60 | 2 |
| 30 | 2 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
24 = 2³ ∙ 3
60 = 2² ∙ 3 ∙ 5
Нужно взять общие делители чисел с меньшим показателем степени.
НОД (24;60) = 2² ∙ 3 = 12.
А чтобы найти НОК двух чисел нужно:
- Разложить на простые множители;
- Выписать все простые множители, которые входят в первое число и во второе число с наибольшим показателем степени.
Значит:
24 = 2³ ∙ 3 60 = 2² ∙ 3 ∙ 5 НОК (24;60) = 2³∙ 3 ∙ 5 = 120.
