Сложение квадратных корней с одинаковыми числами. Правила сложения квадратных корней
Формулы корней. Свойства квадратных корней.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень . Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней , каковы свойства корней , и что со всем этим можно делать.
Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями - это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да...
Начнём с самой простой. Вот она:
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Квадратным корнем из числа x называют число a, которое при умножении само на себя дает число x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Как и над всякими числами, над квадратными корнями дозволено исполнять арифметические операции сложения и вычитания.
Инструкция
1. Во-первых, при сложении квадратных корней испробуйте извлечь эти корни. Это будет допустимо, если числа под знаком корня являются полными квадратами. Скажем, пускай задано выражение?4 + ?9. Первое число 4 – это квадрат числа 2. Второе число 9 – это квадрат числа 3. Таким образом получается, что: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.
2. Если под знаком корня нет полных квадратов, то испробуйте перенести из под знака корня множитель числа. Скажем, пускай дано выражение?24 + ?54. Разложите числа на множители: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. В числе 24 имеется множитель 4, тот, что дозволено перенести из под знака квадратного корня. В числе 54 — множитель 9. Таким образом, получается что: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6. В данном примере в итоге выноса множителя из под знака корня получилось упростить заданное выражение.
3. Пускай сумма 2-х квадратных корней является знаменателем дроби, скажем, A / (?a + ?b). И пускай перед вами стоит задача «избавиться от иррациональности в знаменателе». Тогда дозволено воспользоваться дальнейшим методом. Умножьте числитель и знаменатель дроби на выражение?a — ?b. Таким образом в знаменателе получится формула сокращенного умножения: (?a + ?b) * (?a — ?b) = a – b. По аналогии, если в знаменателе дана разность корней: ?a — ?b, то числитель и знаменатель дроби нужно умножить на выражение?a + ?b. Для примера, пускай дана дробь 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 — ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 — ?5)) = 4 * (?3 — ?5) / (-2) = 2 * (?5 — ?3).
4. Разглядите больше непростой пример избавления от иррациональности в знаменателе. Пускай дана дробь 12 / (?2 + ?3 + ?5). Нужно умножить числитель и знаменатель дроби на выражение?2 + ?3 — ?5:12 / (?2 + ?3 + ?5) = 12 * (?2 + ?3 — ?5) / ((?2 + ?3 + ?5) * (?2 + ?3 — ?5)) = 12 * (?2 + ?3 — ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 — ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 — ?30.
5. И наконец, если вам нужно только примерное значение, то дозволено посчитать значения квадратных корней на калькуляторе. Вычислите значения отдельно для всего числа и запишите с нужной точностью (скажем, два знака позже запятой). А после этого совершите требуемые арифметические операции, как с обыкновенными числами. Скажем, пускай нужно узнать примерное значение выражения?7 + ?5 ? 2,65 + 2,24 = 4,89.
Видео по теме
Обратите внимание!
Квадратные корни ни в коем случае невозможно складывать как примитивные числа, т.е. ?3 + ?2 ? ?5!!!
Полезный совет
Если вы раскладываете число на множители, дабы перенести квадрат из под знака корня, то совершите обратную проверку — перемножьте все получившиеся множители и получите изначальное число.
Содержимое:
Складывать и вычитать квадратные корни можно только при условии, что у них одинаковое подкоренное выражение, то есть вы можете сложить или вычесть 2√3 и 4√3, но не 2√3 и 2√5. Вы можете упростить подкоренное выражение, чтобы привести их к корням с одинаковыми подкоренными выражениями (а затем сложить или вычесть их).
Шаги
Часть 1 Постигаем основы
- 1
(выражение под знаком корня).
Для этого разложите подкоренное число на два множителя, один из которых является квадратным числом (число, из которого можно извлечь целый корень, например, 25 или 9). После этого извлеките корень из квадратного числа и запишите найденное значение перед знаком корня (под знаком корня останется второй множитель). Например, 6√50 - 2√8 + 5√12. Числа, стоящее перед знаком корня, являются множителями соответствующих корней, а числа под знаком корня – это подкоренные числа (выражения). Вот как решать данную задачу:
- 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Здесь вы раскладываете 50 на множители 25 и 2; затем из 25 извлекаете корень, равный 5, и 5 выносите из-под корня. Затем 5 умножаете на 6 (множитель у корня) и получаете 30√2.
- 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Здесь вы раскладываете 8 на множители 4 и 2; затем из 4 извлекаете корень, равный 2, и 2 выносите из-под корня. Затем 2 умножаете на 2 (множитель у корня) и получаете 4√2.
- 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Здесь вы раскладываете 12 на множители 4 и 3; затем из 4 извлекаете корень, равный 2, и 2 выносите из-под корня. Затем 2 умножаете на 5 (множитель у корня) и получаете 10√3.
- 2 Подчеркните корни, подкоренные выражения которых одинаковы. В нашем примере упрощенное выражение имеет вид: 30√2 - 4√2 + 10√3. В нем вы должны подчеркнуть первый и второй члены (30√2 и 4√2 ), так как у них одинаковое подкоренное число 2. Только такие корни вы можете складывать и вычитать.
- 3 Если вам дано выражение с большим количеством членов, многие из которых имеют одинаковые подкоренные выражения, используйте одинарное, двойное, тройное подчеркивание для обозначения таких членов, чтобы облегчить решение этого выражения.
- 4
У корней, подкоренные выражения которых одинаковы, сложите или вычтите множители, стоящие перед знаком корня, а подкоренное выражение оставьте прежним (не складывайте и не вычитайте подкоренные числа!
). Идея в том, чтобы показать, сколько всего корней с определенным подкоренным выражением содержится в данном выражении.
- 30√2 - 4√2 + 10√3 =
- (30 - 4)√2 + 10√3 =
- 26√2 + 10√3
Часть 2 Практикуемся на примерах
- 1
Пример 1:
√(45) + 4√5.
- Упростите √(45). Разложите 45 на множители: √(45) = √(9 x 5).
- Вынесите 3 из-под корня (√9 = 3): √(45) = 3√5.
- Теперь сложите множители у корней: 3√5 + 4√5 = 7√5
- 2
Пример 2:
6√(40) - 3√(10) + √5.
- Упростите 6√(40). Разложите 40 на множители: 6√(40) = 6√(4 x 10).
- Вынесите 2 из-под корня (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
- Перемножьте множители перед корнем и получите 12√10.
- Теперь выражение можно записать в виде 12√10 - 3√(10) + √5. Так как у первых двух членов одинаковые подкоренные числа, вы можете вычесть второй член из первого, а первый оставить без изменений.
- Вы получите: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
- 3 Пример 3. 9√5 -2√3 - 4√5. Здесь ни одно из подкоренных выражений нельзя разложить на множители, поэтому упростить это выражение не получится. Вы можете вычесть третий член из первого (так как у них одинаковые подкоренные числа), а второй член оставить без изменений. Вы получите: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3.
- 4
Пример 4.
√9 + √4 - 3√2.
- √9 = √(3 х 3) = 3.
- √4 = √(2 х 2) = 2.
- Теперь вы можете просто сложить 3 + 2, чтобы получить 5.
- Окончательный ответ: 5 - 3√2.
- 5
Пример 5.
Решите выражение, содержащее корни и дроби. Вы можете складывать и вычислять только те дроби, у которых общий (одинаковый) знаменатель. Дано выражение (√2)/4 + (√2)/2.
- Найдите наименьший общий знаменатель этих дробей. Это число, которое делится нацело на каждый знаменатель. В нашем примере на 4 и на 2 делится число 4.
- Теперь вторую дробь умножьте на 2/2 (чтобы привести ее к общему знаменателю; первая дробь уже приведена к нему): (√2)/2 х 2/2 = (2√2)/4.
- Сложите числители дробей, а знаменатель оставьте прежним: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .
- Перед суммированием или вычитанием корней обязательно упростите (если возможно) подкоренные выражения.
Предупреждения
- Никогда не суммируйте и не вычитайте корни с разными подкоренными выражениями.
- Никогда не суммируйте и не вычитайте целое число и корень, например, 3 + (2x) 1/2
.
- Примечание: «х» в одной второй степени и квадратный корень из «х» – это одно и то же (то есть x 1/2 = √х).
Квадратным корнем из числа X
называется число A
, которое в процессе умножения самого на себя (A * A
) может дать число X
.
Т.е. A * A = A 2 = X
, и √X = A
.
Над квадратными корнями (√x
), как и над другими числами, можно выполнять такие арифметические операции, как вычитание и сложение. Для вычитания и сложения корней их нужно соединить посредством знаков, соответствующих этим действиям (например √x - √y
).
А потом привести корни к их простейшей форме - если между ними окажутся подобные, необходимо сделать приведение. Оно заключается в том, что берутся коэффициенты подобных членов со знаками соответствующих членов, далее заключаются в скобки и выводится общий корень за скобками множителя. Коэффициент, который мы получили, упрощается по обычным правилам.
Шаг 1. Извлечение квадратных корней
Во-первых, для сложения квадратных корней сначала нужно эти корни извлечь. Это можно будет сделать в том случае, если числа под знаком корня будут полными квадратами. Для примера возьмем заданное выражение √4 + √9
. Первое число 4
является квадратом числа 2
. Второе число 9
является квадратом числа 3
. Таким образом, можно получить следующее равенство: √4 + √9 = 2 + 3 = 5
.
Все, пример решен. Но так просто бывает далеко не всегда.
Шаг 2. Вынесение множителя числа из-под корня
Если полных квадратов нет под знаком корня, можно попробовать вынести множитель числа из-под знака корня. Для примера возьмём выражение √24 + √54 .
Раскладываем числа на множители:
24 = 2 * 2 * 2 * 3
,
54 = 2 * 3 * 3 * 3
.
В числе 24 мы имеем множитель 4 , его можно вынести из-под знака квадратного корня. В числе 54 мы имеем множитель 9 .
Получаем равенство:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6
.
Рассматривая данный пример, мы получаем вынос множителя из-под знака корня, тем самым упрощая заданное выражение.
Шаг 3. Сокращение знаменателя
Рассмотрим следующую ситуацию: сумма двух квадратных корней - это знаменатель дроби, например, A / (√a + √b)
.
Теперь перед нами стоит задача «избавиться от иррациональности в знаменателе».
Воспользуемся следующим способом: умножаем числитель и знаменатель дроби на выражение √a - √b
.
Формулу сокращённого умножения мы теперь получаем в знаменателе:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b
.
Аналогично, если в знаменателе имеется разность корней: √a - √b , числитель и знаменатель дроби умножаем на выражение √a + √b .
Возьмём для примера дробь:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3)
.
Пример сложного сокращения знаменателя
Теперь будем рассматривать достаточно сложный пример избавления от иррациональности в знаменателе.
Для примера берём дробь: 12 / (√2 + √3 + √5)
.
Нужно взять её числитель и знаменатель и перемножить на выражение √2 + √3 - √5
.
Получаем:
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
Шаг 4. Вычисление приблизительного значения на калькуляторе
Если вам требуется только приблизительное значение, это можно сделать на калькуляторе путём подсчёта значения квадратных корней. Отдельно для каждого числа вычисляется значение и записывается с необходимой точностью, которая определяется количеством знаков после запятой. Далее совершаются все требуемые операции, как с обычными числами.
Пример вычисления приблизительного значения
Необходимо вычислить приблизительное значение данного выражения √7 + √5 .
В итоге получаем:
√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .
Обратите внимание: ни при каких условиях не следует производить сложение квадратных корней, как простых чисел, это совершенно недопустимо. То есть, если сложить квадратный корень из пяти и из трёх, у нас не может получиться квадратный корень из восьми.
Полезный совет: если вы решили разложить число на множители, для того, чтобы вывести квадрат из-под знака корня, вам необходимо сделать обратную проверку, то есть перемножить все множители, которые получились в результате вычислений, и в конечном результате этого математического расчёта должно получиться число, которое нам было задано первоначально.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
