Сравнение чисел и величин по длине, объёму, массе. Как сравнить величины: пошаговая инструкция

Тема урока: Больше или меньше? На сколько?

Цель урока : Формирование первоначальных представлений о связи арифметических действий с увеличением/ уменьшением чисел в равенствах.

Задачи :

Систематизировать знания детей о составе чисел первого десятка.

Учить моделировать состав чисел с помощью карточек.

Сформировать представление о связи сложения с увеличением, а вычитания с уменьшением числа.

Совершенствовать умение моделировать условие задачи для ее последующего решения.

Формировать умение осознанно выбирать арифметическое действие при решении задач.

Способствовать развитию умения наблюдать, видеть закономерности, делать выводы.

Поощрять стремление сотрудничать с товарищами при работе в паре.

Формировать умение сопоставлять информацию, представленную в разных видах: текст, рисунок, схема, числовое выражение.

Совершенствовать навыки самоконтроля.

Формировать умение слушать партнера.

Оборудование: учебник Математика 1 класс, рабочая тетрадь математика 1 класс, набор магнитных демонстрационных цифр от 1 до 10, магнитные демонстрационные знаки «+» и «=», раздаточные «рукавички» с цифрами от 1 до 9 и равенствами, комплект карточек с цифрами от 1 до 9 на каждого ребенка ноутбук, проект, сигнальные карточки красного и синего цвета.

План урока.

Этап актуализации знаний.

Этап ознакомления с новым материалом.

Операционно-исполнительный этап.

Этап отработки навыка.

Применение полученных знаний в самостоятельной деятельности 4 мин.

Работа в парах 1 мин.

Этап рефлексии 2 мин.

Конспект урока.

Этап урока

Задачи этапа

Деятельность учителя

Формы организации деятельности учащихся

Дифференцированная работа

Обратная связь

Прогнозируемый результат

1. Этап актуализации знаний

оргмомент

Настроить ребят на активную работу

Вот звонок нам дал сигнал:

Поработать час настал.

Так что время не теряем

И работать начинаем. В путешествие пойдем, В чудный лес мы попадем.

Фронтальная

Привлечение внимания детей к уроку.

«Оживление» опыта учащихся

Систематизировать знания детей, подтолкнуть к активной работе.

В канун нового года не только люди, но и лесные жители готовятся к празднику. А сегодня мы побываем в сказочном лесу. Дед Мороз позаботился, чтобы и у зверей был праздник. Посмотрите, елочки уже с гирляндами, но огоньки на них не горят. Чтобы они зажглись, нужно верно подобрать числа, которые в сумме дают число на каждой елочке. (6,7,8,9,10)

Фронтальная

Работа детей с карточками, ответы учащихся, взаимный анализ вариантов ответов

Создание интереса и положительного настроя.

Закрепят и систематизируют знание состава чисел.

Актуализация опорных знаний.

Оживить и систематизировать навыки детей в выполнении вычислительных операциях с числами в пределах 10.

Елочки готовы, но не хватает игрушек, Дед Мороз и об этом не забыл. Он приготовил им игрушки. 5 красных шариков и 7 синих. А каких шариков больше? Что больше 5 или 7? На сколько 5 больше 7?

Фронтальная

По степени помощи, подведение к правильным ответам.

Взаимный анализ вариантов ответов.

Умение сравнивать числа, выполнять сложение и вычитание на основе знания состава числа.

Дифференцированная работа

Умение моделировать условие задачи для ее последующего решения, умение осознанно выбирать арифметическое действие при решении задач.

Дети планируют собственную деятельность. Дифференциация содержания учебных заданий организована по уровню трудности. Для 3 и 2 групп – белочки и зайчики используется частично-поисковый метод. Для детей 1 группы с низким уровнем обучаемости используется репродуктивное задание. Характер познавательной деятельности у детей 1-ой группы – репродуктивный, у детей 2-ой и 3 групп – продуктивный

На праздник все ждут подарки. Дед мороз не знает сколько подарков нужно.

Демонстрация условия задачи на экране.

«На новогодний праздник пришли 7 зайчиков, а потом еще 2. Сколько зверей пришли на праздник?»

1 подгруппа: самостоятельное изображение схемы задачи и составление ее равенства.

2 подгруппа: помощь при изображении схемы и самостоятельное составление равенства.

3 подгруппа: совместное с учителем написание схемы и равенства.

Подгрупповая

По степени сложности.

Составление схемы задачи и равенства к ней в тетради, ответы детей, работа у доски.

Поупражняются в способах составления схем и равенств к задаче.

Физкультминутка «Вспомни и покажи».

Если я покажу четное число, то вы должны присесть столько раз, какое число я показала, а если назову нечетное – ваша задача сделать столько хлопков над головой, какое число я назвала.

Создание проблемной ситуации.

Принятие задачи и ее формулировка детьми.

На экране демонстрируется еще одна задача

«На празднике сначала было 7 зайчиков, а потом стало 9. На сколько больше зверят стало на празднике?»

Подойдет ли наша схема к данной задаче?

Чего не хватает в нашей схеме?

Что нам известно в задаче?

Какой поставлен вопрос?

Почему наша схема к данной задаче не подходит?

Фронтальная.

Совместное формулирование проблемы Ответы детей.

Принятие детьми проблемы.

2. Этап ознакомления с новым материалом.

Решение проблемных ситуаций с комментариями учителя

Совместное разрешение проблемы и вывод.

Развитие мыслительных операций, формирование и развитие логических операций

В процессе обсуждения учащиеся приходят к выводу, что нужна другая схема и изображают ее с опорой на условие задачи.

Ребята, посмотрите, теперь мы видим сколько пришло зайчиков сначала, и сколько потом их стало.

А как нам показать на схеме, насколько зверей стало больше?

Мы вычеркнем количество зверей, которое было из общего количества зверей. Учитель демонстрирует это на схеме, зачеркивая 7 кружков.

Сколько кружков осталось?

Как мы получили число 2?

Мы из большего числа вычли меньшее.

Вывод: чтобы узнать на сколько одно число больше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее. Это утверждение сопровождается схематичной жестикуляцией.

Индивидуальная и фронтальная

Ответы детей, работа со схемой и равенством в тетради.

Соотнесение своих знаний с новым материалом

Физкультминутка.

Музыкально-динамическая интерактивная физкультминутка с использованием мультимедийной установки «Веселая зарядка».

3.Операционно-исполнительный этап

Работа в подгруппах

Создание возможности выразить свою точку зрения, умение работать в подгруппе, развитие коммуникативных способностей

Работа с раздаточным материалом «рукавичками».

Ребята, а всем зайчатам, чтобы не замерзнуть нужны рукавички, давайте им поможем подобрать пару.

На рукавичках даны равенства к которым нужно подобрать необходимое число.

Контроль осуществляется через представление командами результатов работы. На оставшихся лишних рукавичках сравниваются числа и выясняется на сколько одно число больше или меньше другого. Ответ каждой подгруппы оценивается другими подгруппами при помощи сигнальной карточки.

Групповая

Ответы детей

Поупражняются в решении равенств на основе знания состава числа и в сравнении чисел.

4. Этап отработки навыка.

Применение полученных знаний в самостоятельной деятельности

Систематизация представлений о связи сложения с увеличением, а вычитания с уменьшением числа.

Работа с учебником.

Ребята, посмотрите, нам необходимо поставить знаки < или > .

Первое равенство обсуждается совместно, последующие выполняются учениками самостоятельно.

Групповая, парная, индивидуальная.

По степени помощи.

Ответы детей, работа в тетрадях, работа в парах.

Усовершенствование навыков сравнения чисел.

Работа в парах.

Работа в парах способствует формированию коммуникативных навыков, а также создается ситуация успеха для слабых и средне-слабых учащихся, которые тоже ощущают свою значимость. Ребята получают возможность доказать друг другу правильность решения.

Ребята, а теперь вы с соседом поменяйтесь тетрадями и давайте проверим, верно ли вы выполнили задание.

Парная

По степени помощи

Умение работать в паре

Усовершенствование навыков сравнения чисел и постановки знаков > и < .

5.Этап рефлексии.

Ученики оценивают свою работу по усвоению нового материала и в целом работу на уроке.

Ребята, а теперь отметьте на нашей дорожке как вы научились сравнивать два числа. Кто понял и теперь умеет это делать – поставьте * на верх дорожки, кто еще затрудняется – в середину. Кому сложно и нужно еще поучиться вниз.

И смайликом отметьте, ваше отношение к уроку. Если вы активно работали и вам было интересно, то улыбку.

А если вам было сложно и непонятно, то – грусть.

Фронтальная.

Способность к рефлексии.

Осознают, что схема к задаче зависит от поставленного условия, утверждаются в способе сравнения двух чисел.

Средние величины

В клинической медицине и практике здравоохранения мы часто сталкиваемся с признаками, имеющими количественную характеристику (рост, число дней нетрудоспособности, уровень кровяного давления, посещения поликлиники, численность населения на участке и т.д.). Количественные значения могут быть дискретными или непрерывными. Пример дискретного значения – число детей в семье, пульс; пример непрерывного значения – артериальное давление, рост, вес (число может быть дробным, переходящим в следующее)

Каждое числовое значение единицы наблюдения называется вариантой (x). Если все варианты построить в возрастающем или убывающем порядке и указать частоту каждой варианты (p), то можно получить так называемый вариационный ряд .

Вариационный ряд, имеющий нормальное распределение, графически представляет собой колокол (гистограмма, полигон).

Для характеристики вариационного ряда, имеющего нормальное распределение (или распределение Гаусса-Ляпунова), всегда используются две группы параметров:

1. Параметры, характеризующие основную тенденцию ряда: средняя величина (`x), мода(Мо), медиана (Ме).

2. Параметры, характеризующие рассеянность ряда: среднее квадратичное отклонение (d), коэффициент вариации (V).

Средняя величина (`x) – это величина, определяющая одним числом количественную характеристику качественно однородной совокупности.

Мода (Мо) – чаще всего встречающаяся варианта вариационного ряда.

Медиана (Ме) – варианта, делящая вариационный ряд на равные половины.

Среднее квадратичное отклонение (d) показывает, как в среднем отклоняется каждая варианта от средней величины.

Коэффициент вариации (V ) определяет изменчивость вариационного ряда в процентах и дает возможность судить о качественной однородности изучаемой совокупности. Целесообразно использовать для сравнения вариации различных признаков (а также степени изменчивости сильно отличающихся групп, групп особей разных видов, например, вес новорожденных и семилетних детей).

Лимиты или пределы (lim) – минимальное и максимальное значение вариант. простейший способ дать характеристику вариационному ряду, указать его размах, минимальное и максимальное значение ряда, т.е. его лимиты. Однако лимиты не указывают на то, как распределяются по изучаемому признаку отдельные члены совокупности, поэтому используют указанные выше две группы параметров вариационного ряда.

Имеются разные модификации вычисления параметров вариационного ряда. Их выбор зависит от самого вариационного ряда и технических средств.

В зависимости от того как варьирует признак – дискретно или непрерывно, в широком или узком диапазоне различают простой невзвешенный, простой взвешенный (для дискретных величин) и интервальный вариационный ряд (для непрерывных величин).

Группировку рядов проводят при большом числе наблюдений следующим путем:

1. Определяют размах ряда вычитанием минимальной варианты из максимальной.

2. Полученное число делят на желаемое число групп (минимальное число – 7, максимальное – 15). Так определяется интервал.

3. Начиная с минимальной варианты, строят вариационный ряд. Границы интервалов должны быть четкие, исключающие попадание одной и той же варианты в разные группы.

Вычисление параметров вариационного ряда ведется от центральной варианты. Если ряд непрерывный, то центральная варианта вычисляется как полусумма начальных вариант предыдущей и последующей групп. Если это прерывный ряд, то центральная варианта вычисляется как полусумма начальной и конечной вариант в группе.

Вычисление параметров вариационного ряда

Алгоритм вычисления параметров простого невзвешенного вариационного ряда:

1. Располагают варианты в возрастающем порядке

2. Суммируют все варианты (Sx);

3. Разделив сумму на число наблюдений, получают невзвешенную среднюю ;

4. Вычисляют порядковый номер медианы (Ме);

5. Определяют варианту медианы (Ме)

6. Находят отклонение (d) каждой варианты от средней (d = x -`x)

7. Возводят отклонение в квадрат (d 2);

8. Суммируют d 2 (Sd 2);

9. Вычисляют среднее квадратичное отклонение по формуле: ± ;

10. Определяют коэффициент вариации по формуле: .

11. Делают вывод о полученных результатах.

Примечание: в однородной статистической совокупности коэффициент вариации бывает 5-10%, 11-20% - средняя вариации, более 20% - высокая вариация.

Пример:

В отделении реанимации и интенсивной терапии было проведено лечение 9 больных с сосудистым поражением мозга. Длительность лечения каждого больного в днях: 7, 8, 12, 6, 4, 10, 9, 5,11.

1. Строим вариационный ряд (x): 4,5,6,7,8,9,10,11,12

2. Вычисляем сумму вариант: Sx = 72

3. Вычисляем среднее значение вариационного ряда: =72/9=8 дней;

4. ;

5. Ме n =5 =8 дней;

x	d	d 2
	-4
	-3
	-2
	-1

	+1
	+2
	+3
	+4
S=72	S=0	Sd 2 =60

9. (дней);

10. Коэффициент вариации равен: ;

Алгоритм вычисления параметров простого взвешенного вариационного ряда:

1. Располагают варианты в возрастающем порядке с указанием их частоты (p);

2. Перемножают каждую варианту на свою частоту (x*p);

3. Суммируют произведения xp (Sxp);

4. Вычисляют среднюю величину по формуле (`x)= ;

5. Находят порядковый номер медианы ;

6. Определяют варианту медианы (Ме);

7. Чаще всего встречающуюся варианту принимают за моду (Мо);

8. Находят отклонения d каждой варианты от средней (d = x - `x);

9. Возводят отклонения в квадрат (d 2);

10. Перемножают d 2 на p (d 2 *p);

11. Суммируют d 2 *p (Sd 2 *p);

12. Вычисляют среднее квадратичное отклонение (s) по формуле: ± ;

13. Определяют коэффициент вариации по формуле: .

Пример.

Измерялось систолическое артериальное давление у девушек в возрасте 16 лет.

Систолическое артериальное давление, мм рт.ст. x	Число обследованных, p	x*p	d	d 2	d 2 *p
			-11.4	130.0	260.0
			-9.4	88.4	265.2
			-7.4	54.8	219.2
			-5.4	29.2	175.2
			-1.4	2.0	20.0
			+0.6	0.4	9.6
			2.6	6.8	40.8
			4.6	21.2	84.8
			6.6	43.6	130.8
			10.6	112.4	337.2
			12.6	158.8	317.6
	n=67	Sxp=7194			Sd 2 p=1860.4

мм рт.ст.;

Мм рт.ст.

;

Ме=108 мм рт.ст.; Мо=108 мм рт.ст.

Алгоритм вычисления параметров сгруппированного вариационного ряда способом моментов:

1. Расположить варианты в возрастающем порядке с указанием их частоты (р)

2. Провести группировку вариант

3. Вычислить центральную варианту

4. Варианту с самой высокой частотой принимают за условную среднюю (А)

5. Вычислить условное отклонение (а) каждой центральной варианты от условной средней (А)

6. Перемножают а на р (а*р)

7. Суммируют произведения ар

8. Определяют величину интервала y путем вычитания центральной варианты из предыдущей

9. Вычисляют среднюю величину по формуле:

;

10. Для вычисления условного квадратичного отклонения условные отклонения возводят в квадрат (а 2)

11. Перемножают а 2 *р

12. Суммируют произведения а*р 2

13. Вычисляют среднее квадратичное отклонение по формуле

Пример

Имеются данные мужчин в возрасте 30-39 лет

масса, кг х	Число обследованных р	Серединная варианта х с	а	а 2	а 2 *р	а*р	Накопленные частоты
45-49		47,5	-4			-4
50-54		52,5	-3			-9
55-59		57,5	-2			-14
60-64		62,5	-1			-10
65-69		67,5
70-74		72,5
75-79		77,5
80-84		82,5
85-89		87,5
сумма

- средняя арифметическая

; - среднее квадратичное отклонение; - ошибка средней

Оценка достоверности

Статистическая оценка достоверности результатов медико-статистического исследования складывается из ряда этапов – точность результатов зависит отдельных этапов.

При этом встречаются две категории ошибок: 1) ошибки, которые нельзя заранее учесть математическими методами (ошибки точности, внимания, типичности, методические ошибки и т.д.); 2) ошибки репрезентативности, связанные с выборочным исследованием.

Величина ошибки репрезентативности определяется как объемом выборки, так и разнообразием признака и выражается средней ошибкой. Средняя ошибка показателя вычисляется по формуле:

где m – средняя ошибка показателя;

p – статистический показатель;

q – величина обратная p (1-p, 100-p, 1000-p, и т.д.)

n – число наблюдений.

При числе наблюдений менее 30 в формулу вводится поправка:

Ошибка средней величины исчисляется по формулам:

; ;

где s - среднее квадратичное отклонение;

n – число наблюдений.

Пример 1.

Из стационара выбыло 289 человек, умерло – 12.

Летальность составит:

; ;

При проведении повторных исследований средняя (М) в 68% случаев будет колебаться в пределах ±m, т.е. степень вероятности (p), с которой мы получим такие доверительные границы средней, равна 0,68. Однако такая степень вероятности обычно не удовлетворяет исследователей. Наименьшей степенью вероятности, с которой хотят получить определенные границы колебания средней (доверительные границы), является 0,95 (95%). В этом случае доверительные границы средней должны быть расширены путем умножения ошибки (m) на доверительный коэффициент (t).

Доверительный коэффициент (t) – число, показывающее, во сколько раз нужно увеличить ошибку средней величины, чтобы при данном числе наблюдений с желаемой степенью вероятности (p) утверждать, что средняя величина не выйдет за получаемые таким образом пределы.

При p=0.95 (95%) t=2, т.е. M±tm=M+2m;

При p=0.99 (99%) t=3, т.е. M±tm=M+3m;

Сравнение средних показателей

При сравнении двух средних арифметических (или двух показателей), вычисленных за различные периоды времени или в несколько отличающихся условиях, определяется существенность различий между ними. При этом применяется следующее правило: разница между средними (или показателями) считается существенной в том случае, если арифметическая разность между сравниваемыми средними (или показателями) будет больше, чем два квадратных корня из суммы квадратов ошибок этих средних (или показателей), т.е.

(для сравниваемых средних);

(для сравниваемых показателей).

Взгляните на рисунок. Вы видите две мензурки, в каждой из которых налито некоторое количество жидкости. Скажите, в какой из мензурок жидкости больше? Если вы считаете, что в правой – вы ошибаетесь! Правильный ответ такой: погрешность, возникающая при измерении объема жидкости этими мензурками, не позволяет сказать, в какой мензурке налито больше жидкости.

Как же это следует понимать? Давайте вспомним, что использование любого измерительного прибора обязательно сопровождается погрешностью измерения. Она зависит от цены деления шкалы этого прибора. Поскольку на правой мензурке деления более крупные, значит, погрешность измерения объема будет больше. Измерим объемы жидкостей в мензурках с учетом погрешностей.

Изобразим на двух числовых прямых измеренные значения объемов (отмечены желтыми точками) и интервалы между границами погрешностей измерений:

В отличие от измеренных значений, истинные значения объемов жидкостей находятся в неизвестном месте внутри интервалов. Истинный объем жидкости в левой мензурке может быть равен, например, 270 мл, а истинный объем жидкости в правой мензурке, например, 250 мл (отмечены красными точками).

Мы специально выбрали второе «красное» число меньше первого (ведь такая ситуация тоже может быть). А это значит, что правая мензурка может содержать меньший объем жидкости, чем левая, несмотря на то, что уровень жидкости в правой мензурке выше. Невероятно, но факт!

С самых давних пор людей серьезно интересовал вопрос о том, как удобнее всего сравнить величины, выраженные в разных значениях. И дело здесь не только в природной любознательности. Человек древнейших земных цивилизаций придавал этому довольно непростому делу сугубо прикладное значение. Корректно измерить землю, определить вес продукта на рынке, рассчитать необходимое соотношение товаров при бартере, определить верную норму винограда при заготовке вина - вот лишь малая толика задач, которые часто всплывали в и без того нелёгкой жизни наших предков. Поэтому малообразованные и неграмотные люди при необходимости сравнить величины шли за советом к своим более опытным товарищам, а те нередко брали за такую услугу соответствующую мзду, и довольно неплохую, кстати.

Что можно сравнивать

В наше время этому занятию также отводится немалая роль в процессе изучения точных наук. Всем, конечно, известно, что сравнивать необходимо однородные величины, то есть яблоки - с яблоками, а свеклу - со свеклой. Никому и в голову не придет попробовать выразить градусы Цельсия в километрах или килограммы в децибелах, зато длину удава в попугаях мы знаем с самого детства (для тех, кто не помнит: в одном удаве - 38 попугаев). Хотя попугаи тоже бывают разные, и на самом деле длина удава будет различаться в зависимости от подвида попугая, но это уже детали, в которых мы и попробуем разобраться.

Размерности

Когда в задании указано: "Сравни значения величин", необходимо эти самые величины привести к одному знаменателю, то есть выразить в одних и тех же значениях для удобства сравнения. Понятное дело, что сравнить значение, выраженное в килограммах, со значением, выраженным в центнерах или в тоннах, для многих из нас не составит особого труда. Однако существуют однородные величины, выразить которые можно в разных размерностях и, более того, в разных системах измерения. Попробуйте, например, сравнить величины кинематической вязкости и определить, какая из жидкостей является более вязкой в сантистоксах и квадратных метрах в секунду. Не получается? И не получится. Для этого нужно оба значения отразить в одних и тех же величинах, а уже по числовому значению определить, какое из них превосходит соперника.

Система измерения

Для того чтобы понять, какие величины можно сравнивать, попытаемся вспомнить существующие системы измерения. Для оптимизации и ускорения расчетных процессов в 1875 году семнадцатью странами (в том числе Россией, США, Германией и др.) была подписана метрическая конвенция и определена метрическая система мер. Для разработки и закрепления эталонов метра и килограмма был основан Международный комитет мер и весов, а в Париже обустроено Международное бюро мер и весов. Эта система со временем эволюционировала в Международную систему единиц, СИ. В настоящее время эта система принята большинством стран в области технических расчетов, в том числе и теми странами, где традиционно в повседневной жизни используются национальные (например, США и Англия).

СГС

Однако параллельно с общепринятым стандартом эталонов развивалась и другая, менее удобная система СГС (сантиметр-грамм-секунда). Она была предложена в 1832 году немецким физиком Гауссом, а в 1874 году модернизирована Максвеллом и Томпсоном, в основном в области электродинамики. В 1889 году была предложена более удобная система МКС (метр-килограмм-секунда). Сравнение предметов по величине эталонных значений метра и килограмма для инженеров гораздо более удобно, нежели использование их производных (санти-, милли-, деци- и др.). Однако данная концепция также не нашла массовый отклик в сердцах тех, для кого она предназначалась. Во всём мире активно развивалась и использовалась поэтому расчеты в СГС проводили всё реже, а после 1960 года, с введением системы СИ, СГС и вовсе практически вышла из употребления. В настоящее время СГС реально применяют на практике лишь при расчетах в теоретической механике и астрофизике, и то из-за более простого вида записи законов электромагнетизма.

Пошаговая инструкция

Разберём подробно пример. Допустим, задача звучит так: "Сравните величины 25 т и 19570 кг. Какая из величин больше?" Что нужно сделать перво-наперво, это определить, в каких величинах у нас заданы значения. Итак, первая величина у нас задана в тоннах, а вторая - в килограммах. На втором шаге мы проверяем, не пытаются ли нас ввести в заблуждение составители задачи, пытаясь заставить сравнивать разнородные величины. Бывают и такие задания-ловушки, особенно в быстрых тестах, где на ответ к каждому вопросу дается 20-30 секунд. Как мы видим, значения однородны: и в килограммах, и в тоннах у нас измеряется масса и вес тела, поэтому вторая проверка пройдена с положительным результатом. Третий шаг, переводим килограммы в тонны или, наоборот, тонны - в килограммы для удобства сравнения. В первом варианте получается 25 и 19,57 тонн, а во втором: 25 000 и 19 570 килограмм. И вот теперь можно со спокойной душой сравнить величины этих значений. Как наглядно видно, первое значение (25 т) в обоих случаях больше, чем второе (19 570 кг).

Ловушки

Как уже упоминалось выше, современные тесты содержат очень много заданий-обманок. Это необязательно разобранные нами задачи, ловушкой может оказаться довольно безобидный с виду вопрос, особенно такой, где напрашивается вполне логичный ответ. Однако коварство, как правило, кроется в деталях или в маленьком нюансе, которые составители задания пытаются всячески замаскировать. Например, вместо уже знакомого вам по разобранным задачам с постановкой вопроса: "Сравни величины там, где это возможно" - составители теста могут просто попросить вас сравнить указанные величины, а сами величины выбрать поразительно похожие друг на друга. Например, кг*м/с 2 и м/с 2 . В первом случае это сила, действующая на объект (ньютоны), а во втором - ускорение тела, или м/с 2 и м/с, где вас просят сравнить ускорение со скоростью тела, то есть абсолютно разнородные величины.

Сложные сравнения

Однако очень часто в заданиях приводят два значения, выраженные не только в разных единицах измерения и в разных системах исчисления, но и отличные друг от друга по специфике физического смысла. Например, в постановке задачи сказано: "Сравни значения величин динамической и кинематической вязкостей и определи, какая жидкость более вязкая". При этом значения указаны в единицах СИ, то есть в м 2 /с, а динамической - в СГС, то есть в пуазах. Как поступить в этом случае?

Для решения таких задач можно воспользоваться представленной выше инструкцией с небольшим её дополнением. Определяемся, в какой из систем будем работать: пусть это будет общепринятая среди инженеров. Вторым шагом мы также проверяем, а не ловушка ли это? Но в данном примере тоже всё чисто. Мы сравниваем две жидкости по параметру внутреннего трения (вязкости), поэтому обе величины однородны. Третьим шагом переводим из пуазов в паскаль-секунду, то есть в общепринятые единицы системы СИ. Далее переводим кинематическую вязкость в динамическую, умножая её на соответствующее значение плотности жидкости (табличное значение), и сравниваем полученные результаты.

Вне системы

Существуют также внесистемные единицы измерения, то есть единицы, не вошедшие в СИ, но согласно результатам решений созыва Генеральных конференций по мерам и весам (ГКВМ), допустимые для совместного использования с СИ. Сравнивать такие величины между собой можно только при их приведении к общему виду в стандарте СИ. К внесистемным относятся такие единицы, как минута, час, сутки, литр, электрон-вольт, узел, гектар, бар, ангстрем и многие другие.

Относительная величина – это результат деления (сравнения) двух абсолютных величин. В числителе дроби стоит величина, которую сравнивают, а в знаменателе – величина, с которой сравнивают (база сравнения). Например, если сопоставить величины экспорта США и России, которые в 2005 году составили 904,383 и 243,569 млрд. долл. соответственно, то относительная величина покажет, что величина экспорта США в 3,71 раза (904,383/243,569) больше экспорта России, при этом базой сравнения является величина экспорта России. Полученная относительная величина выражена в виде коэффициента , который показывает, во сколько раз сравниваемая абсолютная величина больше базисной. В данном примере база сравнения принята за единицу. В случае если основание принимается за 100, относительная величина выражается в процентах (% ), если за 1000 – в промилле (‰ ). Выбор той или иной формы относительной величины зависит от ее абсолютного значения:

– если сравниваемая величина больше базы сравнения в 2 раза и более, то выбирают форму коэффициента (как в вышеприведенном примере);

– если относительная величина близка к единице, то, как правило, ее выражают в процентах (например, сравнив величины экспорта России в 2006 и 2005 годах, которые составили 304,5 и 243,6 млрд. долл. соответственно, можно сказать, что экспорт в 2006 году составляет 125% от 2005 года );

– если относительная величина значительно меньше единицы (близка к нулю), ее выражают в промилле (например, в 2004 году Россия экспортировала в страны-СНГ всего 4142 тыс. т нефтепродуктов, в том числе в Грузию 10,7 тыс. т, что составляет 0,0026 , или 2,6‰ от всего экспорта нефтепродуктов в страны СНГ).

Различают относительные величины динамики, структуры, координации, сравнения и интенсивности, для краткости именуемые в дальнейшем индексами .

Индекс динамики характеризует изменение какого-либо явления во времени. Он представляет собой отношение значений одной и той же абсолютной величины в разные периоды времени. Данный индекс определяется по формуле (2):

где цифры означают: 1 – отчетный или анализируемый период, 0 – прошлый или базисный период.

Критериальным значением индекса динамики служит единица (или 100%), то есть если >1, то имеет место рост (увеличение) явления во времени; если =1 – стабильность; если <1 – наблюдается спад (уменьшение) явления. Еще одно название индекса динамики – индекс изменения , вычитая из которого единицу (100%), получают темп изменения (динамики) с критериальным значением 0, который определяется по формуле (3):

Если T >0, то имеет место рост явления; Т =0 – стабильность, Т <0 – спад.

В рассмотренном выше примере про экспорт России в 2006 и 2005 году был рассчитан именно индекс динамики по формуле (2): i Д = 304,5/243,6*100% = 125%, что больше критериального значения 100%, что свидетельствует об увеличении экспорта. Используя формулу (3) получим темп изменения: Т = 125% – 100% = 25%, который показывает, что экспорт увеличился на 25%.

Разновидностями индекса динамики являются индексы планового задания и выполнения плана, рассчитываемые для планирования различных величин и контроля их выполнения.

Индекс планового задания – это отношение планового значения признака к базисному. Он определяется по формуле (4):

где X’ 1 – планируемое значение; X 0 – базисное значение признака.

Например, таможенное управление перечислило в федеральный бюджет в 2006 году 160 млрд.руб., а на следующий год запланировали перечислить 200 млрд.руб., значит по формуле (4): i пз = 200/160 = 1,25, то есть плановое задание для таможенного управления на 2007 год составляет 125% от предыдущего года.

Для определения процента выполнения плана необходимо рассчитать индекс выполнения плана , то есть отношение наблюдаемого значения признака к плановому (оптимальному, максимально возможному) значению по формуле (5):

Например, на январь-ноябрь 2006 года таможенные органы запланировали перечислить в федеральный бюджет 1,955 трлн. руб., но фактически перечислили 2,59 трлн. руб., значит по формуле (5): i ВП = 2,59/1,955 = 1,325, или 132,5%, то есть плановое задание выполнили на 132,5%.

Индекс структуры (доля ) – это отношение какой-либо части объекта (совокупности) ко всему объекту. Он определяется по формуле (6):

В рассмотренном выше примере про экспорт нефтепродуктов в страны СНГ, была рассчитана доля этого экспорта в Грузию по формуле (6): d =10,7/4142 = 0,0026, или 2,6‰ .

Индекс координации – это отношение какой-либо части объекта к другой его части, принятой за основу (базу сравнения). Он определяется по формуле (7):

Например, импорт России в 2006 году составил 163,9 млрд.долл., тогда, сравнив его с экспортом (база сравнения), рассчитаем индекс координации по формуле (7): i К = 163,9/304,5 = 0,538, который показывает соотношение между двумя составными частями внешнеторгового оборота, то есть величина импорта России в 2006 году составляет 53,8% от величины экспорта. Меняя базу сравнения на импорт, по той же формуле получим: i К = 304,5/163,9 = 1,858, то есть экспорт России в 2006 году в 1,858 раза больше импорта, или экспорт составляет 185,8% от импорта.

Индекс сравнения – это сравнение (соотношение) разных объектов по одинаковым признакам. Он определяется по формуле (8):

где А , Б – сравниваемые объекты.

В рассмотренном выше примере, в котором сопоставлялись величины экспорта США и России, был рассчитан именно индекс сравнения по формуле (8): i с = 904,383/243,569 = 3,71. Меняя базу сравнения (то есть экспорт России – объект А, а экспорт США – объект Б), по той же формуле получим: i с = 243,569/904,383 = 0,27, то есть экспорт России составляет 27% от экспорта США.

Индекс интенсивности – это соотношение разных признаков одного объекта между собой. Он определяется по формуле (9):

где X – один признак объекта; Y – другой признак этого же объекта

Например, показатели выработки продукции в единицу рабочего времени, затрат на единицу продукции, цены единицы продукции и т.д.

Вам могут быть интересны следующие материалы