Как найти пределы математический анализ. Определение конечного предела последовательности
Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что "скучная теория" должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.
Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.
Примеры решений
| Пример 1 |
| Вычислить а) $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} $; б)$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} $ |
| Решение |
|
а) $$ \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty $$ б)$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$ Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \text{a)} \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty \text{ б)}\lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$ |
Что делать с неопределенностью вида: $ \bigg [\frac{0}{0} \bigg ] $
| Пример 3 |
| Решить $ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} $ |
| Решение |
|
Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела. $$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(-1)^2-1}{-1+1}=\frac{0}{0} $$ Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её :) Получаем, что числитель $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование: $$ \lim \limits_{x \to -1}\frac{x^2-1}{x+1} = \lim \limits_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = $$ $$ = \lim \limits_{x \to -1}(x-1)=-1-1=-2 $$ |
| Ответ |
| $$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} = -2 $$ |
Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] $
| Пример 5 |
| Вычислить $ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} $ |
| Решение |
|
$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{\infty}{\infty} $ Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное - возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем... $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} =\lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2(1-\frac{1}{x^2})}{x(1+\frac{1}{x})} = $$ $$ = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x(1-\frac{1}{x^2})}{(1+\frac{1}{x})} = $$ Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем: $$ = \frac{\infty(1-\frac{1}{\infty})}{(1+\frac{1}{\infty})} = \frac{\infty \cdot 1}{1+0} = \frac{\infty}{1} = \infty $$ |
| Ответ |
| $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} = \infty $$ |
Алгоритм вычисления лимитов
Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:
- Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: "ноль делить на ноль" или "бесконечность делить на бесконечность" и переходим к следующим пунктам инструкции.
- Чтобы устранить неопределенность "ноль делить на ноль" нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
- Если неопределенность "бесконечность делить на бесконечность", тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.
В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.
Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!
Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Понятие предела в математике
Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала - самое общее определение предела:
Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.
Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Lim - от английского limit - предел.
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Приведем конкретный пример. Задача - найти предел.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют , читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!
Неопределенности в пределах
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность
Пусть есть предел:
Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на
Еще один вид неопределенностей: 0/0
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Правило Лопиталя в пределах
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.
Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос "как решать пределы в высшей математике". Если Вам нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь к за быстрым и подробным решением.
Приводится определение конечного предела последовательности. Рассмотрены связанные с этим свойства и эквивалентное определение. Приводится определение, что точка a не является пределом последовательности. Рассмотрены примеры, в которых доказывается существование предела, используя определение.
Здесь мы рассмотрим определение конечного предела последовательности. Случай последовательности, сходящейся к бесконечности, рассмотрен на странице «Определение бесконечно большой последовательности» .
Определение
.
{
x n }
,
если для любого положительного числа ε > 0
существует такое натуральное число N ε
,
зависящее от ε
,
что для всех натуральных n > N ε
выполняется неравенство
|
x n - a|
< ε
.
Предел последовательности обозначается так:
.
Или при .
Преобразуем неравенство:
;
;
.
Открытый интервал (a - ε, a + ε ) называют ε - окрестностью точки a .
Последовательность, у которой существует предел называется сходящейся последовательностью . Также говорят, что последовательность сходится к a . Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся .
Из определения следует, что, если последовательность имеет предел a , что какую бы ε - окрестностью точки a мы не выбрали, за ее пределами может оказаться, лишь конечное число элементов последовательности, или вообще ни одного (пустое множество). А любая ε - окрестность содержит бесконечное число элементов. В самом деле, задав определенное число ε , мы, тем самым имеем число . Так что все элементы последовательности с номерами , по определению, находятся в ε - окрестностью точки a . Первые элементов могут находиться где угодно. То есть за пределами ε - окрестности может находиться не более элементов - то есть конечное число.
Также заметим, что разность вовсе не обязана монотонно стремиться к нулю, то есть все время убывать. Она может стремиться к нулю не монотонно: может то возрастать, то убывать, имея локальные максимумы. Однако эти максимумы, с ростом n , должны стремиться к нулю (возможно тоже не монотонно).
С помощью логических символов существования и всеобщности, определение предела можно записать следующим образом:
(1)
.
Определение, что число a не является пределом
Теперь рассмотрим обратное утверждение, что число a не является пределом последовательности.
Число a
не является пределом последовательности
,
если существует такое ,
что для любого натурального n
существует такое натуральное m >
n
,
что
.
Запишем это утверждение с помощью логических символов.
(2)
.
Утверждение, что число a
не является пределом последовательности
, означает, что
можно выбрать такую ε
- окрестность точки a
,
за пределами которой будет находиться бесконечное число элементов последовательности
.
Рассмотрим пример
. Пусть задана последовательность с общим элементом
(3)
Любая окрестность точки содержит бесконечное число элементов. Однако эта точка не является пределом последовательности, поскольку и любая окрестность точки также содержит бесконечное число элементов. Возьмем ε
- окрестность точки с ε = 1
.
Это будет интервал (-1, +1)
.
Все элементы, кроме первого, с четными n
принадлежат этому интервалу. Но все элементы с нечетными n
находятся за пределами этого интервала, поскольку они удовлетворяют неравенству x n > 2
.
Поскольку число нечетных элементов бесконечно, то за пределами выбранной окрестности будет находиться бесконечное число элементов. Поэтому точка не является пределом последовательности.
Теперь покажем это, строго придерживаясь утверждения (2). Точка не является пределом последовательности (3), поскольку существует такое ,
так что, для любого натурального n
,
существует нечетное ,
для которого выполняется неравенство
.
Также можно показать, что любая точка a не может являться пределом этой последовательности. Мы всегда можем выбрать такую ε - окрестность точки a , которая не содержит либо точку 0, либо точку 2. И тогда за пределами выбранной окрестности будет находиться бесконечное число элементов последовательности.
Эквивалентное определение
Можно дать эквивалентное определение предела последовательности, если расширить понятие ε - окрестности. Мы получим равносильное определение, если в нем, вместо ε - окрестности, будет фигурировать любая окрестность точки a .
Определение окрестности точки
Окрестностью точки a
называется любой открытый интервал, содержащий эту точку. Математически окрестность определяется так: ,
где ε 1
и ε 2
- произвольные положительные числа.
Тогда определение предела будет следующим.
Эквивалентное определение предела последовательности
Число a
называется пределом последовательности
,
если для любой ее окрестности существует такое натуральное число N
,
что все элементы последовательности с номерами принадлежат этой окрестности.
Это определение можно представить и в развернутом виде.
Число a
называется пределом последовательности
,
если для любых положительных чисел и существует такое натуральное число N
,
зависящее от и ,
что для всех натуральных выполняются неравенства
.
Доказательство равносильности определений
Докажем, что, представленные выше, два определения предела последовательности равносильны.
Пусть число a
является пределом последовательности согласно первому определению. Это означает, что имеется функция ,
так что для любого положительного числа ε
выполняются неравенства:
(4)
при .
Покажем, что число a
является пределом последовательности и по второму определению. То есть нам нужно показать, что существует такая функция ,
так что для любых положительных чисел ε 1
и ε 2
выполняются неравенства:
(5)
при .
Пусть мы имеем два положительных числа: ε 1
и ε 2
.
И пусть ε
- наименьшее из них: .
Тогда ;
;
.
Используем это в (5):
.
Но неравенства выполняются при .
Тогда и неравенства (5) выполняются при .
То есть мы нашли такую функцию ,
при которой выполняются неравенства (5) для любых положительных чисел ε 1
и ε 2
.
Первая часть доказана.
Теперь пусть число a
является пределом последовательности согласно второму определению. Это означает, что имеется функция ,
так что для любых положительных чисел ε 1
и ε 2
выполняются неравенства:
(5)
при .
Покажем, что число a
является пределом последовательности и по первому определению. Для этого нужно положить .
Тогда при выполняются неравенства:
.
Это соответствует первому определению с .
Равносильность определений доказана.
Примеры
Здесь мы рассмотрим несколько примеров, в которых требуется доказать, что заданное число a является пределом последовательности. При этом нужно задать произвольные положительное число ε и определить функцию N от ε такую, что для всех выполняется неравенство .
Пример 1
Доказать, что .
(1)
.
В нашем случае ;
.
.
Воспользуемся свойствами неравенств . Тогда если и ,
то
.
.
Тогда
при .
Это означает, что число является пределом заданной последовательности:
.
Пример 2
С помощью определения предела последовательности доказать, что
.
Выпишем определение предела последовательности:
(1)
.
В нашем случае ,
;
.
Вводим положительные числа и :
.
Воспользуемся свойствами неравенств . Тогда если и ,
то
.
То есть, для любого положительного ,
мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
Тогда
при .
.
Пример 3
.
Вводим обозначения ,
.
Преобразуем разность:
.
Для натуральных n = 1, 2, 3, ...
имеем:
.
Выпишем определение предела последовательности:
(1)
.
Вводим положительные числа и :
.
Тогда если и ,
то
.
То есть, для любого положительного ,
мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
При этом
при .
Это означает, что число является пределом последовательности :
.
Пример 4
Используя определение предела последовательности доказать, что
.
Выпишем определение предела последовательности:
(1)
.
В нашем случае ,
;
.
Вводим положительные числа и :
.
Тогда если и ,
то
.
То есть, для любого положительного ,
мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
Тогда
при .
Это означает, что число является пределом последовательности :
.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Решение пределов функции онлайн . Найти предельное значение функции либо функциональной последовательности в точке, вычислить предельное значение функции на бесконечности. определить сходимость числового ряда и многое другое можно выполнить благодаря нашему онлайн сервису - . Мы позволяем находить лимиты функций онлайн быстро и безошибочно. Вы сами вводите переменную функции и предел, к которому она стремится, анаш сервис проводит все вычисления за вас, выдавая точный и простой ответ. Причем для нахождения предела онлайн вы можете вводить как числовые ряды, так и аналитические функции, содержащие константы в буквенном выражении. В этом случае найденный предел функции будет содержать эти константы как постоянные аргументы в выражении. Нашим сервисом решаются любые сложные задачи по нахождению пределов онлайн , достаточно указать функцию и точку в которой необходимо вычислить предельное значение функции . Вычисляя пределы онлайн , можно пользоваться различными методами и правилами их решения, при этом сверяя полученный результат с решением пределов онлайн на www.сайт, что приведет с успешному выполнению задачи - вы избежите собственных ошибок и описок. Либо вы полностью можете довериться нам и использовать наш результат в своей работе, не затрачивая лишних усилий и времени на самостоятельные вычисления предела функции. Мы допускаем ввод таких предельных значений, как бесконечность. Необходимо ввести общий член числовой последовательности и www.сайт вычислит значение предела онлайн на плюс или минус бесконечности.
Одним из основных понятий математического анализа является лимит функции и предел последовательности в точке и на бесконечности, важно уметь правильно решать пределы . С нашим сервисом это не составит никакого труда. Производится решение пределов онлайн в течение нескольких секунд, ответ точный и полный. Изучение математического анализа начинается с предельного перехода , пределы используются практически во всех разделах высшей математики, поэтому полезно иметь под рукой сервер для решения лимитов онлайн , каковым является сайт.
Функция f (x ) называется функцией целочисленного аргумента, если множество значений x , для которых она определена, является множеством всех натуральных чисел1, 2, 3,… Примером функции целочисленного аргумента может служить сумма n первых чисел натурального ряда. В данном случае
Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел
следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция целочисленного аргумента, т.е. .
Число А называется пределом последовательности (1), если для любого существует число , такое, что при выполняется неравенство . Если число А есть предел последовательности (1), то пишут
Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Для сходящихся последовательностей имеют место теоремы:
Пример 1.
Найти общий член последовательности 1, 4, 9, 16, 25, …
Р е ш е н и е: нетрудно видеть, что
Следовательно
Пример 2.
Найти
общий член последовательности 
Р е ш е н и е: не трудно видеть, что
, 
, 
и
т.д.
Следовательно:
Пример 3.
Доказать, что последовательность с общим членом имеет предел, равный нулю.
Р е ш е н и е: запишем ряд членов последовательности
и положим . Для всех членов данной последовательности, начиная с четвертого, выполняется равенство
Действительно
В данном случае N (см. определение предела последовательности) можно принять равным трем (или любому числу, больше трех), так как, если порядковый номер члена последовательности n больше трех, то выполняется неравенство
.
Положим теперь . Ясно, что для всех членов последовательности начиная с седьмого,
.
Теперь за N можно принять шесть (или любое число, большее шести). Если , то и т.д.
В данном случае можно найти общее выражение для числа N в зависимости от . Общий член данной последовательности . Задавшись произвольным положительным числом , мы должны в соответствии с определением предела, потребовать, чтобы при n > N выполнялось неравенство , если .
Решая неравенство относительно n, получаем . Итак, за N можно принять число (или любое большее число). Таким образом, мы показали, что для любого существует такое , чтопри , выполняется неравенство , а это и доказывает, что пределом последовательности является нуль.
Отметим, что в этой задаче члены последовательности приближались к своему пределу, оставаясь больше этого предела, как говорят, справа.
2.Способы задания функции.
1. Аналитический способ
Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у = f (х), где f (х) - некоторое выражение с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
Для аналитически заданной функции иногда не указывают явно область определения функции. В таком случае подразумевают, что область определения функции у = f (х) совпадает с областью определения выражения f (х), т. е. с множеством тех значений х, при которых выражение f (х) имеет смысл.
