Определение и свойства перпендикулярных прямых. Математика
а) Через точку А можно провести только одну перпендикулярную прямую А H к прямой BT; остальные прямые, проходящие через точку А и пересекающие BT , называются наклонными (прямые А B, AC и А T ).
б) Длина перпендикуляра (длина отрезка А H ), проведенного из точки А на прямую BT ,- это самое короткое расстояние от A до BT .
Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра , проведённого из этой точки к прямой.
с) Несколько перпендикуляров, проведенных через различные точки к одной прямой, никогда между собой не пересекаются.
15. Треугольник - это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, соединяющих эти точки. Точки называются вершинами , а отрезки- сторонами треугольника .
Вершины: А, В, С
Стороны: АС, АВ, ВС, или соответственно b, c, а.
Периметром треугольника, как в прочем и любой фигуры, называется сумма длин всех сторон. Периметр - греч.слово peri – «вокруг», «около» и metreo – «измеряю».
16. Если два треугольника равны , то элементы (т.е.три стороны и три угла) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.
17. Теорема – утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений. Сами рассуждения называются доказательством теоремы . Теорема состоит из двух утверждений: утверджение-условие, утверждение-вывод. Теорему всегда можно записать в виде:
Если «утверджение-условие», то «утверждение-вывод».
Признак – это свойство, по которому познают или узнают предмет, свойство объекта, обуславливающее его различие или общность с другими объектами.
Признак в математике это теорема , в которой утверждается, что определенные условия обеспечивают принадлежность фигуры (фигур) конкретному множеству, которое было определено ранее (например, множеству треугольников).
18. Теорема. Первый признак равенства треугольников . Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если
то 
19. Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.
h a –высота, проведенная из вершины А к стороне а,
h b - высота, проведенная из вершины В к стороне b,
h c - высота, проведенная из вершины С к стороне с.
20. Медианой (лат. mediāna - средний)треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
21. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
l a –биссектриса угла А, l b - биссектриса угла B,
ГЕОМЕТРИЯ
Раздел ІІ. СТЕРЕОМЕТРИЯ
§8. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ. ПРОЕКЦИЯ НАКЛОННОЙ НА ПЛОСКОСТЬ.
2. Свойства перпендикуляра и наклонной.
Рассмотрим свойства перпендикуляра и наклонной.
1) Перпендикуляр, опущенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из этой же точки к плоскости.
На рисунке 411: АН АК.
2) Если две наклонные, проведенные из данной точки к плоскости, равны, то равны их проекции.
K 1 и перпендикуляр АН и АК = АК 1 . Тогда по свойству: НК = НК 1 .
3) Если две наклонные, проведенные из данной точки к данной плоскости, имеют равные проекции, то они равны между собой.
На рисунке 412 из точки А к плоскости а проведены две наклонные АК и А K 1 и перпендикуляр АН, причем КН = К 1 Н. Тогда по свойству: АК = АК 1 .
4) Если из данной точки проведены к плоскости две наклонные, то большая наклонная имеет большую проекцию.
L и перпендикуляр АН, A К > AL . Тогда по свойству: H К > HL .
5) Если из данной точки проведены к плоскости две наклонные, то большей из них является та, которая имеет большую проекцию на данную плоскость.
На рисунке 413 из точки А к плоскости а проведены две наклонные АК и А L и перпендикуляр АН, НК > Н L . Тогда по свойству: АК > А L .
Пример 1. Из точки к плоскости проведены две наклонные, длины которых 41 см и 50 см. Найти проекции наклонных, если они относятся, как 3: 10, и расстояние от точки до плоскости.
Решения. 1) А L = 41 см; АК = 50 см (рис. 413). По свойством имеем Н L НК. Обозначим Н L = 3 х см, НК = 10 х см, АН = h см. АН - расстояние от точки А до плоскости α .
4) Приравнивая, получаем 41 2 - 9х 2 = 50 2 - 100 х 2 ; х 2 = 9; х = 3 (учитывая х > 0). Итак, Н L = 3 ∙ 3 = 9 (см), НК = 10 ∙ 3 = 30 (см).
Пример 2. С данной точки к плоскости проведены две наклонные, каждая по см. Угол между наклонными равен 60°, а угол между их проекциями - прямой. Найти расстояние от точки до плоскости.
Свойства наклонных, выходящих из одной точки. 1. Перпендикуляр всегда короче наклонной, если они проведены из одной точки. 2. Если наклонные равны, то равны и их проекции, и наоборот. 3. Большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.
Слайд 10 из презентации «Перпендикуляр и наклонная к плоскости» . Размер архива с презентацией 327 КБ.Геометрия 10 класс
краткое содержание других презентаций«Задачи на параллелограмм» - Геометрия. Точки. Высота параллелограмма. Площадь. Доказательство. Касательная к окружности. Признаки параллелограмма. Периметр параллелограмма. Окружность. Часть. Средняя линяя. Центры окружностей. Углы. Параллелограмм. Найдите площадь параллелограмма. Две окружности. Свойства параллелограмма. Острый угол. Площадь параллелограмма. Диагонали параллелограмма. Диагональ. Четырехугольник. Треугольники.
«Методы построения сечений» - Формирование умений и навыков построения сечений. Рассмотрим четыре случая построения сечений параллелепипеда. Построить сечения тетраэдра. Метод внутреннего проектирования. Работа с дисками. Параллелепипед имеет шесть граней. Секущая плоскость. Построение сечений многогранников. Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. Метод следов. Памятка.
««Правильные многогранники» 10 класс» - Прогнозируемый результат. Тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. Центр О, ось а и плоскость. Грани многогранника. Радиолария. Содержание. Правильные многогранники. Правильные многогранники в философской картине мира Платона. Феодария. Правильные многогранники встречаются в живой природе. Ход урока. Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью). Какое из перечисленных геометрических тел не является правильным многогранником.
«Определение двугранных углов» - Точка К удалена от каждой стороны. Точки М и К лежат в разных гранях. Градусная мера угла. Свойство трёхгранного угла. Замечания к решению задач. В одной из граней двугранного угла, равного 30, расположена точка М. Построение линейного угла. Провести перпендикуляр. Прямая, проведенная в данной плоскости. Двугранные углы в пирамидах. Решение задач. Точка К. Данная пирамида. Точка на ребре может быть произвольная.
«Методы построения сечений многогранников» - Любая плоскость. Художники. Законы геометрии. Блиц-опрос. Взаимное расположение плоскости и многогранника. Построить сечение многогранника. Многоугольники. Аксиоматический метод. Задачи. Корабль. Задача. Аксиомы. Построение сечений многогранников. Сечения различными плоскостями. Древняя китайская пословица. Самостоятельная работа. Диагональные сечения. Закрепление полученных знаний. Секущая плоскость.
«Равносторонние многоугольники» - Гексаэдр (Куб) Куб составлен из шести квадратов. Октаэдр Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Существует 5 видов правильных многогранников. Правильные Многоугольники. Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер. Икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер. Таким образом, куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер. Тетраэдр Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников.
1. Через точку А (рис. 3) можно провести только одну перпендикулярную прямую АВ к прямой СD; остальные прямые, проходящие через точку А и пересекающие СD , называются наклонными прямыми (рис. 3, прямые АЕ и АF ).
2. Из точки A можно опустить перпендикуляр на прямую CD ; длина перпендикуляра (длина отрезка АВ ), проведенного из точки А на прямую CD ,- это самое короткое расстояние от A до CD (рис. 3).
3. Несколько перпендикуляров, проведенных через точки прямой к прямой, никогда между собой не пересекаются (рис. 4).
Признаки: На плоскости один признак - 4 прямых угла (90).
В 3-мерном пространстве: 2 прямые перпендикулярны, если они соотв. параллельны 2-м прямым, лежащим в одной плоскости и перпендикулярным друг другу.
Обычно говорят о признаках перп-сти прямой и плоскости...
Перпендикулярность плоскостей
| Определение Две пересекающиеся плоскости, называются перпендикулярными , если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым. |  |
| Теорема 5 Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Доказательство. | |
 |
|
| Теорема 5 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ. Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. |  |
| Доказательство: Пусть - плоскость, b - перпендикулярная ей прямая, - плоскость проходящая через прямую b, и с - прямая по которой пересекаются плоскости и . Докажем, что плоскости и перпендикулярны. Проведем в плоскости через точку пересечения прямой b с плоскостью прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и b плоскость . Она перпендикулярна прямой с, так как прямые а и b перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. Теорема доказана. |
Перпендикулярность прямой и плоскости
 |
|
| Определение Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения. Смотри также опорную задачу №1. |  |
| Теорема 1 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости. Доказательство. |  |
| Теорема 2 1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ . Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Доказательство. | |
| Теорема 3 2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ . Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. Доказательство. |
1. Параллельные прямые в пространстве
Две прямые в пространстве называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Параллельность прямых a и b обозначается так: a∥b илиb∥a.
Teорема 1. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и при том только одну.
Теорема 2. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и при том только одну.
Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Теорема 4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Теорема 3.2.
Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Это свойство называется транзитивностью параллельности прямых.
Доказательство
Свойство параллельных прямых задается следующей теоремой, обратной к теореме 3.1.
Теорема 3.4.
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.
Доказательство
На основании этой теоремы легко обосновываются следующие свойства.
- Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответствующие углы равны.
- Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Следствие 3.2.
Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Понятие параллельности позволяет ввести следующее новое понятие, которое в дальнейшем понадобится в 11-й главе.
Два луча называются одинаково направленными , если существует такая прямая, что, во-первых, они перпендикулярны этой прямой, во-вторых, лучи лежат в одной полуплоскости относительно этой прямой.
Два луча называются противоположно направленными , если каждый из них одинаково направлен с лучом, дополнительным к другому.
Одинаково направленные лучи AB и CD будем обозначать: а противоположно направленные лучи AB и CD –
Параллельность плоскостей
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-08-26
