Острый угол образованный прямыми. Нахождение угла между прямыми
О-о-о-о-о… ну и жесть, словно вам сам себе приговор зачитал =) Впрочем, потом релаксация поможет, тем более, сегодня купил подходящие аксессуары. Поэтому приступим к первому разделу, надеюсь, к концу статьи сохраню бодрое расположение духа.
Взаимное расположение двух прямых
Тот случай, когда зал подпевает хором. Две прямые могут :
1) совпадать;
2) быть параллельными: ;
3) или пересекаться в единственной точке: .
Справка для чайников : пожалуйста, запомните математический знак пересечения , он будет встречаться очень часто. Запись обозначает, что прямая пересекается с прямой в точке .
Как определить взаимное расположение двух прямых?
Начнём с первого случая:
Две прямые совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны , то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства
Рассмотрим прямые и составим три уравнения из соответствующих коэффициентов: . Из каждого уравнения следует, что , следовательно, данные прямые совпадают.
Действительно, если все коэффициенты уравнения 
умножить на –1 (сменить знаки), и все коэффициенты уравнения 
сократить на 2, то получится одно и то же уравнение: .
Второй случай, когда прямые параллельны:
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных пропорциональны: 
, но
.
В качестве примера рассмотрим две прямые . Проверяем пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных :
Однако совершенно очевидно, что .
И третий случай, когда прямые пересекаются:
Две прямые пересекаются, тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных НЕ пропорциональны
, то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства 
Так, для прямых составим систему:
Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения: , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, коэффициенты при переменных не пропорциональны.
Вывод: прямые пересекаются
В практических задачах можно использовать только что рассмотренную схему решения. Она, кстати, весьма напоминает алгоритм проверки векторов на коллинеарность, который мы рассматривали на уроке Понятие линейной (не) зависимости векторов. Базис векторов . Но существует более цивилизованная упаковка:
Пример 1
Выяснить взаимное расположение прямых:
Решение основано на исследовании направляющих векторов прямых:
а) Из уравнений найдём направляющие векторы прямых: 
.
, значит, векторы не коллинеарны и прямые пересекаются.
На всякий случай поставлю на распутье камень с указателями:
Остальные перепрыгивают камень и следуют дальше, прямо к Кащею Бессмертному =)
б) Найдем направляющие векторы прямых :
Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, значит, они либо параллельны, либо совпадают. Тут и определитель считать не надо.
Очевидно, что коэффициенты при неизвестных пропорциональны, при этом .
Выясним, справедливо ли равенство :
Таким образом,
в) Найдем направляющие векторы прямых :
Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов:
, следовательно, направляющие векторы коллинеарны. Прямые либо параллельны либо совпадают.
Коэффициент пропорциональности «лямбда» нетрудно усмотреть прямо из соотношения коллинеарных направляющих векторов . Впрочем, его можно найти и через коэффициенты самих уравнений: 
.
Теперь выясним, справедливо ли равенство . Оба свободных члена нулевые, поэтому:
Полученное значение удовлетворяет данному уравнению (ему удовлетворяет вообще любое число).
Таким образом, прямые совпадают.
Ответ :
Очень скоро вы научитесь (или даже уже научились) решать рассмотренную задачу устно буквально в считанные секунды. В этой связи не вижу смысла предлагать что-либо для самостоятельного решения, лучше заложим ещё один важный кирпич в геометрический фундамент:
Как построить прямую, параллельную данной?
За незнание этой простейшей задачи сурово наказывает Соловей-Разбойник.
Пример 2
Прямая задана уравнением . Составить уравнение параллельной прямой, которая проходит через точку .
Решение : Обозначим неизвестную прямую буквой . Что о ней сказано в условии? Прямая проходит через точку . А если прямые параллельны, то очевидно, что направляющий вектор прямой «цэ» подойдёт и для построения прямой «дэ».
Вытаскиваем направляющий вектор из уравнения :
Ответ :
Геометрия примера выглядит незатейливо:
Аналитическая же проверка состоит в следующих шагах:
1) Проверяем, что у прямых один и тот же направляющий вектор (если уравнение прямой не упрощено должным образом, то векторы будут коллинеарны).
2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению .
Аналитическую проверку в большинстве случаев легко выполнить устно. Посмотрите на два уравнения, и многие из вас быстро определят параллельность прямых безо всякого чертежа.
Примеры для самостоятельного решения сегодня будут творческими. Потому что вам ещё придётся тягаться с Бабой-Ягой, а она, знаете, любительница всяких загадок.
Пример 3
Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельную прямой , если
Существует рациональный и не очень рациональный способ решения. Самый короткий путь – в конце урока.
С параллельными прямыми немного поработали и к ним ещё вернёмся. Случай совпадающих прямых малоинтересен, поэтому рассмотрим задачу, которая хорошо знакома вам из школьной программы:
Как найти точку пересечения двух прямых?
Если прямые 
пересекаются в точке , то её координаты являются решением системы линейных уравнений
Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.
Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.
Пример 4
Найти точку пересечения прямых
Решение : Существуют два способа решения – графический и аналитический.
Графический способ состоит в том, чтобы просто начертить данные прямые и узнать точку пересечения непосредственно из чертежа:
Вот наша точка: . Для проверки следует подставить её координаты в каждое уравнение прямой, они должны подойти и там, и там. Иными словами, координаты точки являются решением системы . По сути, мы рассмотрели графический способ решения системы линейных уравнений
с двумя уравнениями, двумя неизвестными.
Графический способ, конечно, неплох, но существует заметные минусы. Нет, дело не в том, что так решают семиклассники, дело в том, что на правильный и ТОЧНЫЙ чертёж уйдёт время. Кроме того, некоторые прямые построить не так-то просто, да и сама точка пересечения может находиться где-нибудь в тридесятом царстве за пределами тетрадного листа.
Поэтому точку пересечения целесообразнее искать аналитическим методом. Решим систему:
Для решения системы использован метод почленного сложения уравнений. Чтобы наработать соответствующие навыки, посетите урок Как решить систему уравнений?
Ответ :
Проверка тривиальна – координаты точки пересечения должны удовлетворять каждому уравнению системы.
Пример 5
Найти точку пересечения прямых в том случае, если они пересекаются.
Это пример для самостоятельного решения. Задачу удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что необходимо:
1) Составить уравнение прямой .
2) Составить уравнение прямой .
3) Выяснить взаимное расположение прямых .
4) Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.
Разработка алгоритма действий типична для многих геометрических задач, и я на этом буду неоднократно заострять внимание.
Полное решение и ответ в конце урока:
Ещё не стоптана и пара башмаков, как мы подобрались ко второму разделу урока:
Перпендикулярные прямые. Расстояние от точки до прямой.
Угол между прямыми
Начнём с типовой и очень важной задачи. В первой части мы узнали, как построить прямую, параллельную данной, а сейчас избушка на курьих ножках развернётся на 90 градусов:
Как построить прямую, перпендикулярную данной?
Пример 6
Прямая задана уравнением . Составить уравнение перпендикулярной прямой , проходящей через точку .
Решение : По условию известно, что . Неплохо бы найти направляющий вектор прямой . Поскольку прямые перпендикулярны, фокус прост:
Из уравнения «снимаем» вектор нормали: , который и будет направляющим вектором прямой .
Уравнение прямой составим по точке и направляющему вектору :
Ответ
: 
Развернём геометрический этюд:
М-да… Оранжевое небо, оранжевое море, оранжевый верблюд.
Аналитическая проверка решения:
1) Из уравнений вытаскиваем направляющие векторы 
и с помощью скалярного произведения векторов
приходим к выводу, что прямые действительно перпендикулярны: .
Кстати, можно использовать векторы нормали, это даже проще.
2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению 
.
Проверку, опять же, легко выполнить устно.
Пример 7
Найти точку пересечения перпендикулярных прямых , если известно уравнение 
и точка .
Это пример для самостоятельного решения. В задаче несколько действий, поэтому решение удобно оформить по пунктам.
Наше увлекательное путешествие продолжается:
Расстояние от точки до прямой
Перед нами прямая полоса реки и наша задача состоит в том, чтобы дойти до неё кратчайшим путём. Препятствий нет, и самым оптимальным маршрутом будет движение по перпендикуляру. То есть, расстояние от точки до прямой – это длина перпендикулярного отрезка.
Расстояние в геометрии традиционно обозначают греческой буквой «ро», например: – расстояние от точки «эм» до прямой «дэ».
Расстояние от точки до прямой 
выражается формулой
Пример 8
Найти расстояние от точки до прямой 
Решение
: всё что нужно, это аккуратно подставить числа в формулу и провести вычисления:
Ответ
: 
Выполним чертёж:
Найденное расстояние от точки до прямой – это в точности длина красного отрезка. Если оформить чертёж на клетчатой бумаге в масштабе 1 ед. = 1 см (2 клетки), то расстояние можно измерить обыкновенной линейкой.
Рассмотрим ещё одно задание по этому же чертежу:
Задача состоит в том, чтобы найти координаты точки , которая симметрична точке относительно прямой 
. Предлагаю выполнить действия самостоятельно, однако обозначу алгоритм решения с промежуточными результатами:
1) Находим прямую , которая перпендикулярна прямой .
2) Находим точку пересечения прямых: 
.
Оба действия подробно разобраны в рамках данного урока.
3) Точка является серединой отрезка . Нам известны координаты середины и одного из концов. По формулам координат середины отрезка находим .
Не лишним будет проверить, что расстояние тоже равно 2,2 единицам.
Трудности здесь могут возникнуть в вычислениях, но в вышке здорово выручает микрокалькулятор, позволяющий считать обыкновенные дроби. Неоднократно советовал, посоветую и снова.
Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми?
Пример 9
Найти расстояние между двумя параллельными прямыми
Это очередной пример для самостоятельного решения. Немного подскажу: тут бесконечно много способов решения. Разбор полётов в конце урока, но лучше постарайтесь догадаться сами, думаю, вашу смекалку удалось неплохо разогнать.
Угол между двумя прямыми
Что ни угол, то косяк:
В геометрии за угол между двумя прямыми принимается МЕНЬШИЙ угол, из чего автоматически следует, что он не может быть тупым. На рисунке угол, обозначенный красной дугой, не считается углом между пересекающимися прямыми. А считается таковым его «зелёный» сосед или противоположно ориентированный
«малиновый» угол .
Если прямые перпендикулярны, то за угол между ними можно принимать любой из 4 углов.
Чем отличаются углы ? Ориентацией. Во-первых, принципиально важным является направление «прокрутки» угла. Во-вторых, отрицательно ориентированный угол записывается со знаком «минус», например, если .
Зачем я это рассказал? Вроде бы можно обойтись и обычным понятием угла. Дело в том, что в формулах, по которым мы будем находить углы, запросто может получиться отрицательный результат, и это не должно застать вас врасплох. Угол со знаком «минус» ничем не хуже, и имеет вполне конкретный геометрический смысл. На чертеже для отрицательного угла следует обязательно указывать стрелкой его ориентацию (по часовой стрелке).
Как найти угол между двумя прямыми? Существуют две рабочие формулы:
Пример 10
Найти угол между прямыми
Решение и Способ первый
Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями в общем виде:
Если прямые не перпендикулярны
, то ориентированный
угол между ними можно вычислить с помощью формулы:
Самое пристальное внимание обратим на знаменатель – это в точности скалярное произведение
направляющих векторов прямых:
Если , то знаменатель формулы обращается в ноль, а векторы будут ортогональны и прямые перпендикулярны. Именно поэтому сделана оговорка о неперпендикулярности прямых в формулировке.
Исходя из вышесказанного, решение удобно оформить в два шага:
1) Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:
, значит, прямые не перпендикулярны.
2) Угол между прямыми найдём по формуле:
С помощью обратной функции легко найти и сам угол. При этом используем нечётность арктангенса (см. Графики и свойства элементарных функций
):
Ответ
: 
В ответе указываем точное значение, а также приближённое значение (желательно и в градусах, и в радианах), вычисленное с помощью калькулятора.
Ну, минус, так минус, ничего страшного. Вот геометрическая иллюстрация:
Неудивительно, что угол получился отрицательной ориентации, ведь в условии задачи первым номером идёт прямая и «открутка» угла началась именно с неё.
Если очень хочется получить положительный угол, нужно поменять прямые местами, то есть коэффициенты взять из второго уравнения 
, а коэффициенты взять из первого уравнения . Короче говоря, начать необходимо с прямой 
.
Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:
Кроме того, для точки М 1 можно записать:
.
Решая совместно эти уравнения, получим:
.
Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.
Общие уравнения прямой в пространстве.
Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.
Общие уравнения прямой в координатной форме:
Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду.
Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p.
При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.
Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:
Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.
Т.е. А(0, 2, 1).
Находим компоненты направляющего вектора прямой.
Тогда канонические уравнения прямой:
Пример. Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:
Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда:
;
2x – 9x – 7 = 0;
Получаем: A(-1; 3; 0).
Направляющий
вектор прямой:
.
Угол между плоскостями.
|
|
Угол между двумя плоскостями в пространстве связан с углом между нормалями к этим плоскостям 1 соотношением: = 1 или = 180 0 - 1 , т.е.
cos = cos 1 .
Определим угол 1 . Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями:
,
где
(A 1 , B 1 , C 1), (A 2 , B 2 , C 2). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения:
.
Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:
Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.
Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:
Плоскости
параллельны, векторы нормалей коллинеарны:
.Это
условие выполняется, если:
.
Угол между прямыми в пространстве.
Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:
Угол между прямыми и угол между направляющими векторами этих прямых связаны соотношением: = 1 или = 180 0 - 1 . Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:
.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.
Инструкция
Обратите внимание
Период тригонометрической функции тангенс равен 180 градусам, а значит углы наклоны прямых не могут, по модулю, превышать этого значения.
Если угловые коэффициенты равны между собой, то угол между такими прямыми равен 0, так как такие прямые или совпадают или параллельны.
Чтобы определить величину угла между скрещивающимися прямыми, необходимо обе прямые (или одну из них) перенести в новое положение методом параллельного переноса до пересечения. После этого следует найти величину угла между полученными пересекающимися прямыми.
Вам понадобится
- Линейка, прямоугольный треугольник, карандаш, транспортир.
Инструкция
Итак, пусть задан вектор V = (а, b, с) и плоскость А x + В y + C z = 0, где А, В и C – координаты нормали N. Тогда косинус угла α между векторами V и N равен:сos α = (а А + b В + с C)/(√(а² + b² + с²) √(А² + В² + C²)).
Чтобы вычислить величину угла в градусах или радианах, нужно от получившегося выражения рассчитать функцию, обратную к косинусу, т.е. арккосинус:α = аrссos ((а А + b В + с C)/(√(а² + b² + с²) √(А² + В² + C²))).
Пример: найдите угол между вектором (5, -3, 8) и плоскостью , заданной общим уравнением 2 x – 5 y + 3 z = 0.Решение: выпишите координаты нормального вектора плоскости N = (2, -5, 3). Подставьте все известные значения в приведенную формулу:сos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.
Видео по теме
Прямая линия, имеющая с окружностью одну общую точку, является касательной к окружности. Другая особенность касательной – она всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть касательная и радиус образуют прямой угол . Если из одной точки А проведены две касательных к окружности АВ и АС, то они всегда равны между собой. Определение угла между касательными (угол АВС) производится с помощью теоремы Пифагора.
Инструкция
Для определения угла необходимо знать радиус окружности ОВ и ОС и расстояние точки начала касательной от центра окружности - О. Итак, углы АВО и АСО равны , радиус ОВ, например 10 см, а расстояние до центра окружности АО равно 15 см. Определите длину касательной по формуле в соответствии с теоремой Пифагора: АВ = квадратный корень из АО2 – ОВ2 или 152 - 102 = 225 – 100 = 125;
