Параллелепипеда равен произведению длины. Объем параллелепипеда
Любое геометрическое тело можно охарактеризовать площадью (S) поверхности и объемом (V). Площадь и объем совсем не одно и то же. Объект может иметь сравнительно небольшой V и большую S, например, так устроен мозг человека. Вычислить данные показатели для простых геометрических фигур гораздо проще.
Параллелепипед: определение, виды и свойства
Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм. Для чего же может потребоваться формула нахождения объема фигуры? Подобную форму имеют книги, упаковочные коробки и еще множество вещей из повседневной жизни. Комнаты в жилых и офисных домах, как правило, являются прямоугольными параллелепипедами. Для установки вентиляции, кондиционеров и определение количества обогревательных элементов в комнате необходимо рассчитать объем помещения.
У фигуры 6 граней – параллелограммов и 12 ребер, две произвольно выбранные грани называют основаниями. Параллелепипед может быть нескольких видов. Различия обусловлены углами между смежными ребрами. Формулы для нахождения V-ов различных многоугольников немного отличаются.
Если 6 граней геометрической фигуры представляют собой прямоугольники, то ее тоже называют прямоугольной. Куб – это частный случай параллелепипеда, в котором все 6 граней представляют собой равные квадраты. В этом случае, чтобы найти V, нужно узнать длину только одной стороны и возвести ее в третью степень.
Для решения задач понадобятся знания не только готовых формул, но свойств фигуры. Перечень основных свойств прямоугольной призмы невелик и очень прост для понимания:
- Противолежащие грани фигуры равны и параллельны. Это значит, что ребра расположенные напротив одинаковы по длине и углу наклона.
- Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
- Четыре главные диагонали геометрической фигуры пересекаются в одной точкой, и делятся ею пополам.
- Квадрат диагонали параллелепипеда равен суме квадратов измерений фигуры (следует из теоремы Пифагора).
Теорема Пифагора гласит, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе того же треугольника.
Доказательство последнего свойства можно разобрать на изображении представленном ниже. Ход решения поставленной задачи прост и не требует подробных объяснений.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда
Формула нахождения для всех видов геометрической фигуры одна: V=S*h, где V- искомый объем, S – площадь основания параллелепипеда, h – высота, опущенная из противоположной вершины и перпендикулярная основанию. В прямоугольнике h совпадает с одной из сторон фигуры, поэтому чтобы найти объем прямоугольной призмы необходимо перемножить три измерения.
Объем принято выражать в см3. Зная все три значения a, b и c найти объем фигуры совсем не сложно. Наиболее часто встречающийся тип задач в ЕГЭ – это поиск объема или диагонали параллелепипеда. Решить многие типовые задания ЕГЭ без формулы объема прямоугольника – невозможно. Пример задания и оформления его решения приведен на рисунке ниже.
Примечание 1 . Площадь поверхности прямоугольной призмы можно найти, если умножить на 2 сумму площадей трех граней фигуры: основания (ab) и двух смежных боковых граней (bc + ac).
Примечание 2 . Площадь поверхности боковых граней легко узнать умножив периметр основания на высоту параллелепипеда.
Исходя из первого свойства параллелепипедов AB = A1B1, а грань B1D1 = BD. Согласно следствиям из теоремы Пифагора сумма всех углов в прямоугольном треугольнике равна 180°, а катет, лежащий против угла в 30°, равен гипотенузы. Применив данные знания для треугольника, легко находим длину сторон AB и AD. Затем перемножаем полученные значения и вычисляем объем параллелепипеда.
Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда
Чтобы найти объем наклонного параллелепипеда необходимо площадь основания фигуры умножить на высоту, опущенную на данное основание из противоположного угла.
Таким образом, искомый V можно представить в виде h — количества листов с площадью S основания, так объем колоды складывается из V-ов всех карт.
Примеры решения задач
Задания единого экзамена должны быть выполнены за определенное время. Типовые задачи, как правило, не содержать большого количества вычислений и сложных дробей. Часто школьнику предлагают как найти объем неправильной геометрической фигуры. В таких случаях следует помнить простое правило, что общий объем равен сумме V-ов составных частей.
Как видно из примера на изображении выше, ничего сложного в решении подобных задач нет. Задания из более сложных разделов предполагают знания теоремы Пифагора и ее следствий, а так же формулу длины диагонали фигуры. Для успешного решения заданий тестов достаточно заранее ознакомится с образцами типовых задач.
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
С пятого класса нам известна формула нахождения объема прямоугольного параллелепипеда. Сегодня мы вспомним эту формулу и докажем теорему «Объем прямоугольного параллелепипеда»
Докажем теорему: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.
Дано: параллелепипед
а, b, c — его измерения.
V - объем параллелепипеда.
Доказать: V = abc.
Доказательство:
1. Пусть а, b, c - конечные десятичные дроби, где число знаков после запятой не больше n (n > 1).
Тогда Числа а. 10n , b . 10n, c . 10n - целые.
Разобьем каждое ребро параллелепипеда на равные отрезки длиной и через точки разбиения проведем плоскости, перпендикулярные ребрам.
Параллелепипед разобьется на abc.103n равных кубиков с ребром. Найдем объем каждого маленького кубика будет равен равно единица, деленная на десять в n-ой степени, возведенная в куб. Возведя числитель и знаменатель в куб, получаем (единица в кубе равна единице, а 10 в n-ой степени в кубе равно 10 в степени 3n) частное единицы и 10 в степени 3n.
Т.к. объем каждого такого кубика равен, а количество этих кубиков аbс умноженное на, то объем прямоугольного параллелепипеда находим умножением количества кубиков на объем маленького кубика Тогда получаем выражение: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению аbс, умноженное на 10 в степени 3n частное единицы и 10 в степени 3n.
Сократим на 10 в степени 3n, получим, что объем прямоугольного параллелепипеда равен abc или произведению трех его измерений.
Итак, V = abc.
2.Докажем, если хотя бы одно из измерений a, b, c - бесконечная десятичная дробь, то объем параллелепипеда также равен произведению трех его измерений.
Пусть аn, bn, cn - конечные десятичные дроби, полученные из чисел a, b, c отбрасыванием в каждом из них всех цифр после запятой, начиная с (n + 1). Тогда а больше или равно а с индексом и меньше или равно а с индексом n штрих
an < a < an",
где а энное штрих равно сумме а энное и единицы, деленной на десять в n-ой степени =
для b и c, запишем аналогичные неравенства и запишем их друг под другом
an < a < an"
bn < b < bn"
cn < c < cn",
Перемножим эти три неравенства, мы получим: произведение abc больше или равно произведению а энного на b энное и на c энное и меньше или равно а энному штрих на b энное штрих и на c энное штрих:
anbncn abc < an"bn"cn". (1)
По доказанному в п. 1., левая часть - объем параллелепипеда со сторонами anbncn , то есть Vn, а правая — объем параллелепипеда со сторонами an"bn"cn", то есть Vn".
Т.к. параллелепипед Р, то есть параллелепипед с измерениями a, b, c содержит в себе параллелепипед Рn, то есть параллелепипед со сторонами an, bn, cn, а сам содержится в параллелепипеде Pn", то есть в параллелепипеде со сторонами an", bn", cn" то объем V параллелепипеда Р заключен между Vn = anbncn и Vn "= an"bn"cn",
т.е. anbncn < V < an"bn"cn". (2)
При неограниченном увеличении n число частное единицы и 10 в степени 3n будет становиться сколь угодно малым, и потому числа anbncn и an"bn"cn" будут сколь угодно мало отличаться друг от друга. Следовательно, число V сколь угодно мало отличается от числа abc. Значит, они равны:
V = abc. Теорема доказана.
Следствие 1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник. Пусть длина прямоугольника равна а и ширина равна b, высоту обозначим h=c. Тогда площадь прямоугольника ищем по формуле. Подставим в формулу для нахождения объема V = abc вместо произведения пишем. Получаем формулу
Следствие 2. Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.
Дана прямоугольная призма, угол А в основании является прямым. Достроим прямоугольную призму до прямоугольного параллелепипеда (смотрите чертеж). Прямоугольный параллелепипед состоит из двух прямоугольных призм, которые равны, так как имеют равные основания и высоты. Соответственно, площадь прямоугольника равна двум площадям прямоугольных треугольников АВС Следовательно, объем прямоугольной призмы равен половине объема прямоугольного параллелепипеда (при умножении) или произведению основания прямоугольного треугольника на высоту.
Задача 1.Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Объем прямоугольного параллелепипеда ищем по формуле:
Данная фигура состоит из двух прямоугольных параллелепипедов.
Пусть — это объем полного параллелепипеда с измерениями 4, 3, 3. Тогда это объем малого «вырезанного» параллелепипеда с измерениями 3, 1, 1.
Чтобы найти объем многогранника, необходимо найти разность объемов V1 и V2
Находим объем V1 как произведение его измерений обозначим их а1, b1, c1, получаем объем его равен
Для малого «вырезанного» параллелепипеда объем V2 равен произведению его измерений, их обозначим как а2, b2, c2 , тогда получим
Теперь найдем объем многогранника V как разность V1 и V2, получим V=
Ответ: V многогранника равен 33
showPlots(;0 noAxes0 );
Рис. 2.1: Два параллелепипеда
2.0.6 Единица объёма.
За единицу объемов при измерении их берут объем такого куба, у которого каждое ребро равно линейной единице. Так, употребительны кубические метры (m3 ), кубические сантиметры (cm3 ) и т.д.
2.1 Объем параллелепипеда.
2.1.1 Теорема об объеме правильного прямоугольного параллелепипеда
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.
В таком кратком выражении теорему эту надо понимать так: число, выражающее объем прямоугольного параллелепипеда в кубической единице, равно произведению чисел, выражающих три его измерения в соответствующей линейной единице, т.е. в единице, являющейся ребром куба, объем которого принят за кубическую единицу. Так, если x есть число, выражающее объем прямоугольного параллелепипеда в кубических сантиметрах, и a; b и c
числа, выражающие три его измерения в линейных сантиметрах, то теорема утверждает, что x = abc При доказательстве рассмотрим особо следующие три случая: 1) Измерения выражаются целыми числами. Пусть, например, измерения, будут (2.2) AB = a; BC = b и BD = c, где a; b и c какие-нибудь целые числа (например, как изображено у нас на рисунке: a = 4; b = 2 и c = 5). Тогда основание параллелепипеда содержит ab таких квадратов, из которых каждый представляет собой соответствующую квадратную единицу. На каждом из этих квадратов, очевидно, можно поместить по одной кубической единице. Тогда получится слой (изображенный на 2.2), состоящий из ab кубических единиц. Так как высота этого слоя равна одной линейной единице, а высота всего параллелепипеда содержит c таких единиц, то внутри параллелепипеда можно поместить c таких слоев. Следовательно, объем этого параллелепипеда равен abc кубических единиц. 2) Измерения выражаются дробными числами. Пусть измерения параллелепипеда будут:
m n ; p q ; r s
(некоторые из этих дробей могут равняться целому числу). Приведя дроби к одинаковому знаменателю, будем иметь:
mqs ngs ; pns qns; rnq snq:
Примем nqs 1 долю линейной единицы за новую (вспомогательную) едини-
цу длины. Тогда в этой новой единице измерения данного параллелепипеда выразятся целыми числами, а именно:
(mqs) (pns) (rnq);
и потому по доказанному (в случае 1) объем параллелепипеда равен произведению (mqs) (pns) (rnq), если измерять этот объем новой кубической единицей, соответствующей новой линейной единице. Таких кубических еди-
ниц в одной кубической единице, соответствующей прежней линейной едини- q
це, содержится (nqs)3 ; значит, новая кубическая единица составляет (nqs) 3
прежней. Поэтому объем параллелепипеда, выраженный в прежних единицах, равен
(mqs) (pns) (rnq) = |
|||||||||||||||
(nqs)3 |
|||||||||||||||
3) Измерения выражаются иррациональными числами. Пусть у данного параллелепипеда (2.3), который для краткости мы обозначим одной буквой Q, измерения будут:
AB = ; AC = ; AD = ;
где все числа; и или только некоторые из них иррациональные. Каждое из чисел; и может быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби. Возьмем приближенные значения этих дробей с n десятичными знаками сначала с недостатком, а затем с избытком. Значения с недостатком обозначим n ; n ; n значения с избытком n 0 ; n 0 ; n 0 . Отложим на ребре AB, начиная от точки A, два отрезка AB1 = n и AB2 = n 0 . На ребре AC от той же точки A отложим отрезки AC1 = n и AC2 = n 0 и на ребре AD от той же точки отрезки AD1 = n и n 0 . При этом мы будем иметь
AB1 < AB < AB2 ; AC1 < AC < AC2 ; AD1 < AD < AD2 :
Построим теперь два вспомогательных параллелепипеда: один (обозначим его Q1 ) с измерениями AB1 ; AC1 и AD1 и другой (обозначим его Q2 ) с измерениями AB2 ; AC2 и AD2 . Параллелепипед Q1 будет весь помещаться внутри параллелепипеда Q, а параллелепипед Q2 будет содержать внутри себя параллелепипед Q. По доказанному (в случае 2) будем иметь:
Q1 = n n n ; (1)
Q2 = n 0 n 0 n 0 ; (2)
причем объем Q1 < объема Q2 .
Начнем теперь увеличивать число n. Это значит, что мы берем приближенные значения чисел; ; gamma все с большей и большей степенью точности. Посмотрим, как при этом изменяются объемы параллелепипедов Q1
и Q 2 При неограниченном возрастании n объём Q1 , очевидно, увеличивается
и в силу равенства (1) при беспредельном увеличении n имеет своим пре-
делом предел произведения(n ; n ; n ). Объем Q2 , очевидно уменьшается и
в силу равенства (2) имеет пределом предел произведения n 0 ; n 0 ; n 0 . Но из алгебры известно, что оба произведения n ; n ; n и n 0 ; n 0 ; n 0 при неограниченном увеличении п имеют общий предел, который является произведением иррациональных чисел Этот предел мы и принимаем за меру объема параллелепипеда Q: объём Q = . Можно доказать, что определенный таким образом объем удовлетворяет тем условиям, которые установлены для объема. В самом деле, при таком определении объема равные параллелепипеды, очевидно, имеют равные объемы. Следовательно, первое условие выполняется. Разобьем теперь данный параллелепипед Q плоскостью, параллельной его основанию, надвое: Q1 и Q2 (2.4). Тогда будем иметь:
Q1 = AB AC AD;
Q2 = AB AA1 AD;
Q3 = A1 B1 A1 C A1 D1 :
Складывая почленно два последних равенства и замечая, что A1 B1 = AB и A1 D1 = AD, получим объем Q1 + объем Q2 = AB AA1 AD + AB A1 C AD = AB AD(AA1 + A1 C) = AB AD AC, отсюда получаем:
Q1 + Q2 = Q:
Следовательно, и второе условие тоже выполняется, если параллелепипед складывать из двух частей, полученных разрезанием его плоскостью, параллельной одной из граней.
set2D(0; 20; 4; 20); |
|||||||||||||||||||
;0 dash0 ); |
|||||||||||||||||||
;0 dash0 ); |
|||||||||||||||||||
;0 dash0 ); |
|||||||||||||||||||
dash0 ); |
|||||||||||||||||||
p8 = pointsPlot(4 |
|||||||||||||||||||
[ 0A 0; 0 B 0; 0 C 0; 0 a 0; 0 b 0; 0 c 0; 0 D 0]; |
|||||||||||||||||||
showPlots(;0 noAxes0 ); |
|||||||||||||||||||
set2D(3; 12; 2; 13); |
|||||||||||||||||||
;0 dash0 ); |
||||
;0 dash0 ); |
|||
Рис. 2.2: Параллелепипед
;0 dash0 ); |
|||||||||||||||||||
dash0 ); |
|||||||||||||||||||
;0 dash0 ); |
|||||||||||||||||||
|
ГЛАВА ТРЕТЬЯ МНОГОГРАННИКИ II ОБЪЕМ ПРИЗМЫ И ПИРАМИДЫ 82. Основные допущения в объёмах. Величина части пространства, занимаемого геометрическим телом, называется объёмом этого тела. Мы ставим, задачу - найти для этой величины выражение в виде некоторого числа, измеряющего эту величину. При этом мы будем руководствоваться следующими исходными положениями: 1) Равные тела имеют равные объёмы . 2) Объём какого-нибудь тела (например, каждого параллелепипеда, изображённого на черт. 87), состоящего из частей (Р и Q), равен сумме объёмов этих частей . Два тела, имеющие одинаковые объемы, называются равновеликими. 83. Единица объёма. За единицу объёмов при измерении их берут объём такого куба, у которого каждое ребро равно линейной единице. Так, употребительны кубические метры (м 3), кубические сантиметры (см 3) и т. д. Объём параллелепипеда 84. Теорема. Объём прямоугольного параллелепипедa равен произведению трёх его измерений. В таком кратком выражения теорему эту надо понимать так: число, выражающее объём прямоугольного параллелепипеда в кубической единице, равно произведению чисел, выражающих три его измерения в соответствующей линейной единице, т. е. в единице, являющейся ребром куба, объём которого принят за кубическую единицу. Так, если х есть число, выражающее объём прямоугольного параллелепипеда в кубических сантиметрах, и а, b и с -числа, выражающие три его измерения в линейных сантиметрах, то теорема утверждает, что x = abc . При доказательстве рассмотрим особо следующие три случая: 1) Измерения выражаются целыми числами .
Пусть, например, измерения будут (черт. 88): АВ = а
, ВС = b
и BD = c
, 2) Измерения выражаются дробными числами . Пусть измерения параллелепипеда будут: m / n , p / q , r / s . (некоторые из этих дробей могут равняться целому числу). Приведя дроби к одинаковому знаменателю, будем иметь: mqs / nqs , pns / nqs , rnq / nqs Примем 1 / nqs долю линейной единицы за новую (вспомогательную) единицу длины. Тогда в этой новой единице измерения данного параллелепипеда выразятся целыми числами, а именно: mqs, pns и rnq , и потому по доказанному (в случае 1) объём параллелепипеда равен произведению (mqs ) (pns ) (rnq ), если измерять этот объём новой кубической единицей, соответствующей новой линейной единице. Таких кубических единиц в одной кубической единице, соответствующей прежней линейной единице, содержится (nqs ) 3 ; значит, новая кубическая единица составляет 1 /(nqs ) 3 прежней. Поэтому объём параллелепипеда, выраженный в прежних единицах, равен: 3) Измерения выражаются иррациональными числами . Пусть у данного параллелепипеда (черт. 89), который для краткости мы, обозначим одной буквой Q, измерения будут: АВ = α ; AС = β; AD = γ, где все числа α , β и γ или только некоторые из них иррациональные.
Каждое из чисел α , β и γ может быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби. Возьмём приближённые значения этих дробей с п
десятичными знаками сначала с недостатком, а затем с избытком. Значения с недостатком обозначим α n
, β n
, γ n
, значения с избытком α" n
, β" n
, γ" n
. Отложим на ребре АВ, начиная от точки А, два отрезка AB 1 = α n
и АВ 2 = α" n
. При этом мы будем иметь: AB 1 < АВ < АВ 2 ; АС 1 < АС < АС 2 ; AD 1 < AD < AD 2 . Построим теперь два вспомогательных параллелепипеда; один (обозначим его Q 1) с измерениями АВ 1 , АС 1 и AD 1 и другой (обозначим его Q 2) с измерениями АВ 2 , АС 2 и AD 2 . Параллелепипед Q 1 будет весь помещаться внутри параллелепипеда Q, а параллелепипед Q 2 будет содержать внутри себя параллелепипед Q. По доказанному (в случае 2) будем иметь: объём Q 1 = α n β n γ n (1) объём Q 2 = α" n β" n γ" n (2) Оричём объём Q 1 < объёма Q 2 . Начнём теперь увеличивать число п . Это значит, что мы берём приближённые значения чисел α , β , γ всё с большей и большей степенью точности. Посмотрим, как при этом изменяются объемы параллелепипедов Q 1 и Q 2 . При неограниченном возрастании п
объём Q 1 , очевидно, увеличивается и в силу равенства (1) при беспредельном увеличении n
имеет споим пределом предел произведения (α n
β n
γ n
). Объём Q 2 , очевидно, уменьшается и в силу равенства (2) имеет пределом предел произведения (α" n
β" n
γ" n
). Но из алгебры известно, что оба произведения Этот предел мы и принимаем за меру объёма параллелепипеда Q: объём Q = αβγ. Можно доказать, что определённый таким образом объём удовлетворяет тем условиям, которые установлены для объёма (§ 82). В самом деле, при таком определении объёма равные параллелепипеды, очевидно, имеют равные объёмы. Следовательно, первое условие (§ 82) выполняется. Разобьём теперь данный параллелепипед Q плоскостью, параллельной его основанию, надвое: Q 1 и Q 2 (черт. 90).
Тогда будем иметь: объём Q = АВ АС АD, Складывая почленно два последних равенства и замечая, что А 1 В 1 = АВ и А 1 D 1 =АD, получим: объём Q 1 +объём Q 2 = АВ АА 1 АD+АВ А 1 С АD = АВ АD (АА 1 + А 1 С) = АВ АD АC, отсюда получаем: объём Q 1 +объём Q 2 = объёму Q. Следовательно, и второе условие § 82 тоже выполняется, если параллелепипед складывать из двух частей, полученных разрезанием его плоскостью, параллельной одной из граней. 85. Следствие. Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда, служащие сторонами его основания, выражаются числами а и b , а третье измерение (высота)-числом с . Тогда, обозначая объём его в соответствующих кубических единицах буквой V, можем написать: V = аbс . Так как произведение аb выражает площадь основания, то можнo сказать, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту . Замечание. Отношение двух кубических единиц разных названий равно третьей степени отношения тех линейных единиц, которые служат рёбрами для этих кубических единиц. Так, отношение кубического метра к кубическому дециметру равно 10 3 , т. е. 1000. Поэтому, например, если мы имеем куб с ребром длиной а линейных единиц и другой куб с ребром длиной 3а линейных единиц, то отношение их объёмов будет равно 3 3 , т. е. 27, что ясно видно из чертежа 91.
86. Лемма. Наклонная призма равновелика такой прямой призме, основание которой равно перпендикулярному сечению наклонной призмы, а высота - её боковому ребру. Пусть дана наклонная призма ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 (черт. 92). Продолжим все её боковые рёбра и боковые грани в одном направлении. Возьмём на продолжении одного какого-нибудь ребра произвольную точку а и проведём через неё перпендикулярное сечение abcde . Затем, отложив аа 1 = АА 1 , проведём через а 1 перпендикулярное сечение a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 . Так как плоскости обоих сечений параллельны, то bb 1 = сс 1 = dd 1 = ее 1 = аа 1 = АА 1 (§17). Вследствие этого многогранник a 1 d , у которого за основания приняты проведённые нами сечения, есть прямая призма, о которой говорится в теореме. Докажем, что данная наклонная призма равновелика этой прямой. Для этого предварительно убедимся, что многогранники a D и a 1 D 1 равны. Основания их abcde и a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 равны как основания призмы a 1 d ; с другой стороны, прибавив к обеим частям равенства А 1 А = а 1 а по одному и тому же отрезку прямой А 1 а , получим: а А = а 1 А 1 ; подобно этому b В = b 1 В 1 , с С = с 1 С 1 и т. д. Вообразим теперь, что многогранник a D вложен в многогранник a 1 D 1 так, что основания их совпали; тогда боковые рёбра, будучи перпендикулярны к основаниям и соответственно равны, также совпадут; поэтому многогранник a D совместится с многогранником a 1 D 1 ; значит, эти тела равны. Теперь заметим, что если к прямой призме a 1 d добавим многогранник a D, а к наклонной призме A 1 D добавим многогранник a 1 D 1 , равный a D, то получим один и тот же многогранник a 1 D. Из этого следует, что две призмы A 1 D и a 1 d равновелики. 87. Теорема. Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Ранее мы доказали эту теорему для параллелепипеда п р я м о у г о л ь н о г о, теперь докажем её для параллелепипеда п р я м о г о, а потом и н а к л о н н о г о. 1). Пусть (черт. 93) АС 1 - прямой параллелепипед, т. е. такой, у которого основание ABCD - какой-нибудь параллелограмм, а все боковые грани - прямоугольники.
Возьмём в нём за основание боковую грань АА 1 В 1 В; тогда параллелепипед будет объём AС 1 = МN МQ ВС = МN (МQ ВС). Но произведение МQ ВС выражает площадь параллелограмма АВСD, поэтому объём АСХ = (площади АВСD) МN = (площади АВСD) ВВ 1 . 2) Пусть (черт. 94) АС 1 - наклонный параллелепипед.
Он равновелик такому прямому, у которого основанием служит перпендикулярное сечение МNРQ (т. е. перпендикулярное к рёбрам АD, ВС, . . .), а высотой - ребро ВС. Но, по доказанному, объём прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту; значит, объём АС 1 = (площади МNРQ) ВС. Если RS есть высота сечения МNРQ, то площадь МNРQ = МQ RS, поэтому объём АС 1 = МQ RS ВС = (ВС MQ) RS. Произведение ВС MQ выражает площадь параллелограмма АВСD; следовательно, объём АС 1 = (площади АВСОD) RS. Остаётся теперь доказать, что отрезок RS представляет собой высоту параллелепипеда. Действительно, сечение МNРQ, будучи перпендикулярно к рёбрам ВС, В 1 С 1 , .. . , должно быть перпендикулярно к граням АВСD, ВВ 1 С 1 С, .... проходящим через эти рёбра (§ 43). Поэтому если мы из точки S восставим перпендикуляр к плоскости АВСD, то он должен лежать весь в плоскости МNРQ (§ 44) и, следовательно, должен слиться с прямой RS, лежащей в этой плоскости и перпендикулярной к МQ. Значит, отрезок SR есть высота параллелепипеда. Таким образом, объем и наклонного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Следствие. Если V, В и H суть числа, выражающие в соответствующих единицах объём, площадь основания и высоту параллелепипеда, то можно написать.
Вам могут быть интересны следующие материалы
 | |||||||||||||||||||
ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений, т. е. имеет место формула
Упражнение 1 Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 6.
Упражнение 2 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 3. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины. Ответ: 1, 5.
Упражнение 3 Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 2. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 3. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 6.
Упражнение 4 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Диагональ параллелепипеда равна 3. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 4.
Упражнение 6 Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребро увеличить в два раза? Ответ: В 8 раз.
Упражнение 9 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 10. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 2.
Упражнение 10 Ребро прямоугольного параллелепипеда равно 1. Диагональ равна 3. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 4.
Упражнение 12 Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда равны 1, 2, 3. Найдите объем параллелепипеда. Объем параллелепипеда равен Ответ:
Упражнение 19 Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда. Решение: Ребра параллелепипеда равны 2, 2 и 1. Его объем равен 4.
Упражнение 20 Параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его объем. Решение: Ребра параллелепипеда равны 2. Его объем равен 8.
Упражнение 21 Найдите объем куба, вписанного в единичный октаэдр. Решение: Ребро куба равно Объем куба равен
Упражнение 22 Найдите объем куба, описанного около единичного октаэдра. Решение: Ребро куба равно Объем куба равен
Упражнение 23 Найдите объем куба, вписанного в единичный додекаэдр. Решение: Ребро куба равно Объем куба равен
Упражнение 24 Могут ли площади всех граней параллелепипеда быть меньше 1, а объем параллелепипеда быть больше 100? Ответ: Нет, объем будет меньше 1.
Упражнение 25 Могут ли площади всех граней параллелепипеда быть больше 100, а объем параллелепипеда быть меньше 1? Ответ: Да.
Упражнение 27 Четыре грани параллелепипеда – прямоугольники со сторонами 1 и 2. Какой наибольший объем может иметь этот параллелепипед? Решение. Искомым параллелепипедом является прямоугольный параллелепипед, у которого две оставшиеся грани – квадраты со стороной 2. Его объем равен 4. Ответ: 4.
Какой наибольший объем может иметь параллелепипед, вписанный в прямой цилиндр, радиус основания и высота которого равны 1? Ответ: 2.
