Уравнение с косинусом. Решение простейших тригонометрических уравнений

Тригонометрические уравнения - тема не самая простая. Уж больно они разнообразные.) Например, такие:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

И тому подобное...

Но у этих (и всех остальных) тригонометрических монстров есть два общих и обязательных признака. Первый - вы не поверите - в уравнениях присутствуют тригонометрические функции.) Второй: все выражения с иксом находятся внутри этих самых функций. И только там! Если икс появится где-нибудь снаружи, например, sin2x + 3x = 3, это уже будет уравнение смешанного типа. Такие уравнения требуют индивидуального подхода. Здесь мы их рассматривать не будем.

Злые уравнения в этом уроке мы тоже решать не будем.) Здесь мы будем разбираться с самыми простыми тригонометрическими уравнениями. Почему? Да потому, что решение любых тригонометрических уравнений состоит из двух этапов. На первом этапе злое уравнение путём самых различных преобразований сводится к простому. На втором - решается это самое простое уравнение. Иначе - никак.

Так что, если на втором этапе у вас проблемы - первый этап особого смысла не имеет.)

Как выглядят элементарные тригонометрические уравнения?

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = а

Здесь а обозначает любое число. Любое.

Кстати, внутри функции может находиться не чистый икс, а какое-то выражение, типа:

cos(3x+π /3) = 1/2

и тому подобное. Это усложняет жизнь, но на методе решения тригонометрического уравнения никак не сказывается.

Как решать тригонометрические уравнения?

Тригонометрические уравнения можно решать двумя путями. Первый путь: с использованием логики и тригонометрического круга. Этот путь мы рассмотрим здесь. Второй путь - с использованием памяти и формул - рассмотрим в следующем уроке.

Первый путь понятен, надёжен, и его трудно забыть.) Он хорош для решения и тригонометрических уравнений, и неравенств, и всяких хитрых нестандартных примеров. Логика сильнее памяти!)

Решаем уравнения с помощью тригонометрического круга.

Включаем элементарную логику и умение пользоваться тригонометрическим кругом. Не умеете!? Однако... Трудно же вам в тригонометрии придётся...) Но не беда. Загляните в уроки "Тригонометрический круг...... Что это такое?" и "Отсчёт углов на тригонометрическом круге". Там всё просто. В отличие от учебников...)

Ах, вы в курсе!? И даже освоили "Практическую работу с тригонометрическим кругом" !? Примите поздравления. Эта тема будет вам близка и понятна.) Что особо радует, тригонометрическому кругу безразлично, какое уравнение вы решаете. Синус, косинус, тангенс, котангенс - ему всё едино. Принцип решения один.

Вот и берём любое элементарное тригонометрическое уравнение. Хотя бы это:

cosx = 0,5

Надо найти икс. Если говорить человеческим языком, нужно найти угол (икс), косинус которого равен 0,5.

Как мы ранее использовали круг? Мы рисовали на нём угол. В градусах или радианах. И сразу видели тригонометрические функции этого угла. Сейчас поступим наоборот. Нарисуем на круге косинус, равный 0,5 и сразу увидим угол. Останется только записать ответ.) Да-да!

Рисуем круг и отмечаем косинус, равный 0,5. На оси косинусов, разумеется. Вот так:

Теперь нарисуем угол, который даёт нам этот косинус. Наведите курсор мышки на рисунок (или коснитесь картинки на планшете), и увидите этот самый угол х.

Косинус какого угла равен 0,5?

х = π /3

cos60° = cos(π /3 ) = 0,5

Кое-кто скептически хмыкнет, да... Мол, стоило ли круг городить, когда и так всё ясно... Можно, конечно, хмыкать...) Но дело в том, что это - ошибочный ответ. Вернее, недостаточный. Знатоки круга понимают, что здесь ещё целая куча углов, которые тоже дают косинус, равный 0,5.

Если провернуть подвижную сторону ОА на полный оборот , точка А попадёт в исходное положение. С тем же косинусом, равным 0,5. Т.е. угол изменится на 360° или 2π радиан, а косинус - нет. Новый угол 60° + 360° = 420° тоже будет решением нашего уравнения, т.к.

Таких полных оборотов можно накрутить бесконечное множество... И все эти новые углы будут решениями нашего тригонометрического уравнения. И их все надо как-то записать в ответ. Все. Иначе решение не считается, да...)

Математика умеет это делать просто и элегантно. В одном кратком ответе записывать бесконечное множество решений. Вот как это выглядит для нашего уравнения:

х = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Расшифрую. Всё-таки писать осмысленно приятнее, чем тупо рисовать какие-то загадочные буковки, правда?)

π /3 - это тот самый угол, который мы увидели на круге и определили по таблице косинусов.

2π - это один полный оборот в радианах.

n - это количество полных, т.е. целых оборотов. Понятно, что n может быть равно 0, ±1, ±2, ±3.... и так далее. Что и указано краткой записью:

n ∈ Z

n принадлежит (∈ ) множеству целых чисел (Z ). Кстати, вместо буквы n вполне могут употребляться буквы k, m, t и т.д.

Эта запись означает, что вы можете взять любое целое n . Хоть -3, хоть 0, хоть +55. Какое хотите. Если подставите это число в запись ответа, получите конкретный угол, который обязательно будет решением нашего сурового уравнения.)

Или, другими словами, х = π /3 - это единственный корень из бесконечного множества. Чтобы получить все остальные корни, достаточно к π /3 прибавить любое количество полных оборотов (n ) в радианах. Т.е. 2π n радиан.

Всё? Нет. Я специально удовольствие растягиваю. Чтобы запомнилось получше.) Мы получили только часть ответов к нашему уравнению. Эту первую часть решения я запишу вот как:

х 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

х 1 - не один корень, это целая серия корней, записанная в краткой форме.

Но есть ещё углы, которые тоже дают косинус, равный 0,5!

Вернёмся к нашей картинке, по которой записывали ответ. Вот она:

Наводим мышку на картинку и видим ещё один угол, который тоже даёт косинус 0,5. Как вы думаете, чему он равен? Треугольнички одинаковые... Да! Он равен углу х , только отложен в отрицательном направлении. Это угол -х. Но икс-то мы уже вычислили. π /3 или 60°. Стало быть, можно смело записать:

х 2 = - π /3

Ну и, разумеется, добавляем все углы, которые получаются через полные обороты:

х 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Вот теперь всё.) По тригонометрическому кругу мы увидели (кто понимает, конечно)) все углы, дающие косинус, равный 0,5. И записали эти углы в краткой математической форме. В ответе получились две бесконечные серии корней:

х 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Это правильный ответ.

Надеюсь, общий принцип решения тригонометрических уравнений с помощью круга понятен. Отмечаем на круге косинус (синус, тангенс, котангенс) из заданного уравнения, рисуем соответствующие ему углы и записываем ответ. Конечно, нужно сообразить, что за углы мы увидели на круге. Иногда это не так очевидно. Ну так я и говорил, что здесь логика требуется.)

Для примера разберём ещё одно тригонометрическое уравнение:

Прошу учесть, что число 0,5 - это не единственно возможное число в уравнениях!) Просто мне его писать удобнее, чем корни и дроби.

Работаем по общему принципу. Рисуем круг, отмечаем (на оси синусов, разумеется!) 0,5. Рисуем сразу все углы, соответствующие этому синусу. Получим вот такую картину:

Сначала разбираемся с углом х в первой четверти. Вспоминаем таблицу синусов и определяем величину этого угла. Дело нехитрое:

х = π /6

Вспоминаем про полные обороты и, с чистой совестью, записываем первую серию ответов:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Половина дела сделана. А вот теперь надо определить второй угол... Это похитрее, чем в косинусах, да... Но логика нас спасёт! Как определить второй угол через х? Да легко! Треугольнички на картинке одинаковые, и красный угол х равен углу х . Только отсчитан он от угла π в отрицательном направлении. Потому и красный.) А нам для ответа нужен угол, отсчитанный правильно, от положительной полуоси ОХ, т.е. от угла 0 градусов.

Наводим курсор на рисунок и всё видим. Первый угол я убрал, чтобы не усложнял картинку. Интересующий нас угол (нарисован зелёным) будет равен:

π - х

Икс мы знаем, это π /6 . Стало быть, второй угол будет:

π - π /6 = 5π /6

Снова вспоминаем про добавку полных оборотов и записываем вторую серию ответов:

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Вот и всё. Полноценный ответ состоит из двух серий корней:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Уравнения с тангенсом и котангенсом можно легко решать по тому же общему принципу решения тригонометрических уравнений. Если, конечно, знаете, как нарисовать тангенс и котангенс на тригонометрическом круге.

В приведённых выше примерах я использовал табличное значение синуса и косинуса: 0,5. Т.е. одно из тех значений, которые ученик знать обязан. А теперь расширим наши возможности на все остальные значения. Решать, так решать!)

Итак, пусть нам надо решить вот такое тригонометрическое уравнение:

Такого значения косинуса в кратких таблицах нет. Хладнокровно игнорируем этот жуткий факт. Рисуем круг, отмечаем на оси косинусов 2/3 и рисуем соответствующие углы. Получаем вот такую картинку.

Разбираемся, для начала, с углом в первой четверти. Знать бы, чему равен икс, сразу бы ответ записали! Не знаем... Провал!? Спокойствие! Математика своих в беде не бросает! Она на этот случай придумала арккосинусы. Не в курсе? Зря. Выясните, Это много проще, чем вы думаете. По этой ссылке ни одного мудрёного заклинания насчёт "обратных тригонометрических функций" нету... Лишнее это в данной теме.

Если вы в курсе, достаточно сказать себе: "Икс - это угол, косинус которого равен 2/3". И сразу, чисто по определению арккосинуса, можно записать:

Вспоминаем про дополнительные обороты и спокойно записываем первую серию корней нашего тригонометрического уравнения:

х 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Практически автоматом записывается и вторая серия корней, для второго угла. Всё то же самое, только икс (arccos 2/3) будет с минусом:

х 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

И все дела! Это правильный ответ. Даже проще, чем с табличными значениями. Ничего вспоминать не надо.) Кстати, самые внимательные заметят, что эта картинка с решением через арккосинус ничем, в сущности, не отличается от картинки для уравнения cosx = 0,5.

Именно так! Общий принцип на то и общий! Я специально нарисовал две почти одинаковые картинки. Круг нам показывает угол х по его косинусу. Табличный это косинус, или нет - кругу неведомо. Что это за угол, π /3, или арккосинус какой - это уж нам решать.

С синусом та же песня. Например:

Вновь рисуем круг, отмечаем синус, равный 1/3, рисуем углы. Получается вот такая картина:

И опять картинка почти та же, что и для уравнения sinx = 0,5. Опять начинаем с угла в первой четверти. Чему равен икс, если его синус равен 1/3 ? Не вопрос!

Вот и готова первая пачка корней:

х 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Разбираемся со вторым углом. В примере с табличным значением 0,5 он был равен:

π - х

Так и здесь он будет точно такой же! Только икс другой, arcsin 1/3. Ну и что!? Можно смело записывать вторую пачку корней:

х 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Это совершенно правильный ответ. Хотя и выглядит не очень привычно. Зато понятно, надеюсь.)

Вот так решаются тригонометрические уравнения с помощью круга. Этот путь нагляден и понятен. Именно он спасает в тригонометрических уравнениях с отбором корней на заданном интервале, в тригонометрических неравенствах - те вообще решаются практически всегда по кругу. Короче, в любых заданиях, которые чуть сложнее стандартных.

Применим знания на практике?)

Решить тригонометрические уравнения:

Сначала попроще, прямо по этому уроку.

Теперь посложнее.

Подсказка: здесь придётся поразмышлять над кругом. Лично.)

А теперь внешне простенькие... Их ещё частными случаями называют.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Подсказка: здесь надо сообразить по кругу, где две серии ответов, а где одна... И как вместо двух серий ответов записать одну. Да так, чтобы ни один корень из бесконечного количества не потерялся!)

Ну и совсем простые):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Подсказка: здесь надо знать, что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс? Самые простые определения. Зато вспоминать никаких табличных значений не надо!)

Ответы, разумеется, в беспорядке):

х 1 = arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
х 2 = π - arcsin0,3 + 2

Не всё получается? Бывает. Прочтите урок ещё раз. Только вдумчиво (есть такое устаревшее слово...) И по ссылкам походите. Главные ссылки - про круг. Без него в тригонометрии - как дорогу переходить с завязанными глазами. Иногда получается.)

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Требует знания основных формул тригонометрии - сумму квадратов синуса и косинуса, выражение тангенса через синус и косинус и другие. Для тех, кто их забыл или не знает рекомендуем прочитать статью " ".
Итак, основные тригонометрические формулы мы знаем, пришло время использовать их на практике. Решение тригонометрических уравнений при правильном подходе – довольно увлекательное занятие, как, например, собрать кубик Рубика.

Исходя из самого названия видно, что тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком тригонометрической функции.
Существуют так называемые простейшие тригонометрические уравнения. Вот как они выглядят: sinх = а, cos x = a, tg x = a. Рассмотрим, как решить такие тригонометрические уравнения , для наглядности будем использовать уже знакомый тригонометрический круг.

sinх = а

cos x = a

tg x = a

cot x = a

Любое тригонометрическое уравнение решается в два этапа: приводим уравнение к простейшему виду и далее решаем его, как простейшее тригонометрическое уравнение.
Существует 7 основных методов, с помощью которых решаются тригонометрические уравнения.

Метод замены переменной и подстановки

Решить уравнение 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Используя формулы приведения получим:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Заменим cos(x + /6) на y для упрощения и получаем обычное квадратное уравнение:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Корни которого y 1 = 1, y 2 = 1/2

Теперь идем в обратном порядке

Подставляем найденные значения y и получаем два варианта ответа:

Решение тригонометрических уравнений через разложение на множители

Как решить уравнение sin x + cos x = 1 ?

Перенесем все влево, чтобы справа остался 0:

sin x + cos x – 1 = 0

Воспользуемся вышерассмотренными тождествами для упрощения уравнения:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Делаем разложение на множители:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Получаем два уравнения

Приведение к однородному уравнению

Уравнение является однородным относительно синуса и косинуса, если все его члены относительно синуса и косинуса одной и той же степени одного и того же угла. Для решения однородного уравнения, поступают следующим образом:

а) переносят все его члены в левую часть;

б) выносят все общие множители за скобки;

в) приравнивают все множители и скобки к 0;

г) в скобках получено однородное уравнение меньшей степени, его в свою очередь делят на синус или косинус в старшей степени;

д) решают полученное уравнение относительно tg.

Решить уравнение 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Воспользуемся формулой sin 2 x + cos 2 x = 1 и избавимся от открытой двойки справа:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Делим на cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Заменяем tg x на y и получаем квадратное уравнение:

y 2 + 4y +3 = 0, корни которого y 1 =1, y 2 = 3

Отсюда находим два решения исходного уравнения:

x 2 = arctg 3 + k

Решение уравнений, через переход к половинному углу

Решить уравнение 3sin x – 5cos x = 7

Переходим к x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Пререносим все влево:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Делим на cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Введение вспомогательного угла

Для рассмотрения возьмем уравнение вида: a sin x + b cos x = c ,

где a, b, c – некоторые произвольные коэффициенты, а x – неизвестное.

Обе части уравнения разделим на :

Теперь коэффициенты уравнения согласно тригонометрическим формулам обладают свойствами sin и cos, а именно: их модуль не более 1 и сумма квадратов = 1. Обозначим их соответственно как cos и sin , где – это и есть так называемый вспомогательный угол. Тогда уравнение примет вид:

cos * sin x + sin * cos x = С

или sin(x + ) = C

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения будет

х = (-1) k * arcsin С - + k, где

Следует отметить, что обозначения cos и sin взаимозаменяемые.

Решить уравнение sin 3x – cos 3x = 1

В этом уравнении коэффициенты:

а = , b = -1, поэтому делим обе части на = 2

Урок и презентация на тему: "Решение простейших тригонометрических уравнений"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"

Что будем изучать:
1. Что такое тригонометрические уравнения?

3. Два основных метода решения тригонометрических уравнений.
4. Однородные тригонометрические уравнения.
5. Примеры.

Что такое тригонометрические уравнения?

Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические уравнения в общем.

Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции.

Повторим вид решения простейших тригонометрических уравнений:

1)Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x) = a имеет решение:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x) = a имеет решение:

3) Если |а| > 1, то уравнение sin(x) = a и cos(x) = a не имеют решений 4) Уравнение tg(x)=a имеет решение: x=arctg(a)+ πk

5) Уравнение ctg(x)=a имеет решение: x=arcctg(a)+ πk

Для всех формул k- целое число

Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид: Т(kx+m)=a, T- какая либо тригонометрическая функция.

Пример.

Решить уравнения: а) sin(3x)= √3/2

Решение:

А) Обозначим 3x=t, тогда наше уравнение перепишем в виде:

Решение этого уравнения будет: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Из таблицы значений получаем: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Вернемся к нашей переменной: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Тогда x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Ответ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, где n-целое число. (-1)^n – минус один в степени n.

Ещё примеры тригонометрических уравнений.

Решить уравнения: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x- π/3)= √3

Решение:

А) В этот раз перейдем непосредственно к вычислению корней уравнения сразу:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогда x/5= πk => x=5πk

Ответ: x=5πk, где k – целое число.

Б) Запишем в виде: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Мы знаем что: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Ответ: x=2π/9 + πk/3, где k – целое число.

Решить уравнения: cos(4x)= √2/2. И найти все корни на отрезке .

Решение:

Решим в общем виде наше уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Теперь давайте посмотрим какие корни попадут на наш отрезок. При k При k=0, x= π/16, мы попали в заданный отрезок .
При к=1, x= π/16+ π/2=9π/16, опять попали.
При k=2, x= π/16+ π=17π/16, а тут вот уже не попали, а значит при больших k тоже заведомо не будем попадать.

Ответ: x= π/16, x= 9π/16

Два основных метода решения.

Мы рассмотрели простейшие тригонометрические уравнения, но существуют и более сложные. Для их решения применяют метод ввода новой переменной и метод разложения на множители. Давайте рассмотрим примеры.

Решим уравнение:

Решение:
Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой переменной, обозначим: t=tg(x).

В результате замены получим: t 2 + 2t -1 = 0

Найдем корни квадратного уравнения: t=-1 и t=1/3

Тогда tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое уравнение, найдем его корни.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Ответ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Пример решения уравнения

Решить уравнений: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Решение:

Воспользуемся тождеством: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Наше уравнение примет вид:2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Введем замену t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2

Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.

Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней.

Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Ответ: x= ±2π/3 + 2πk

Однородные тригонометрические уравнения.

Определение: Уравнение вида a sin(x)+b cos(x) называются однородными тригонометрическими уравнениями первой степени.

Уравнения вида

однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.

Для решения однородного тригонометрического уравнения первой степени разделим его на cos(x): Делить на косинус нельзя если он равен нулю, давайте убедимся что это не так:
Пусть cos(x)=0, тогда asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус одновременно не равны нулю, получили противоречие, поэтому можно смело делить на ноль.

Решить уравнение:
Пример: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Решение:

Вынесем общий множитель: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Тогда нам надо решить два уравнения:

Cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 при x= π/2 + πk;

Рассмотрим уравнение cos(x)+sin(x)=0 Разделим наше уравнение на cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Ответ: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk

Как решать однородные тригонометрические уравнения второй степени?
Ребята, придерживайтесь этих правил всегда!

1. Посмотреть чему равен коэффициент а, если а=0 то тогда наше уравнение примет вид cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример решения которого на предыдущем слайде

2. Если a≠0, то нужно поделить обе части уравнения на косинус в квадрате, получим:

Делаем замену переменной t=tg(x) получаем уравнение:

Решить пример №:3

Решить уравнение:
Решение:

Разделим обе части уравнения на косинус квадрат:

Делаем замену переменной t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Найдем корни квадратного уравнения: t=-3 и t=1

Тогда: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Ответ: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk

Решить пример №:4

Решить уравнение:

Решение:
Преобразуем наше выражение:

Решать такие уравнение мы умеем: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Ответ: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Решить пример №:5

Решить уравнение:

Решение:
Преобразуем наше выражение:

Введем замену tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Решением нашего квадратного уравнения будут корни: t=-2 и t=1/2

Тогда получаем: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Ответ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Задачи для самостоятельного решения.

1) Решить уравнение

А) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = √3 д) ctg(0.5x) = -1.7

2) Решить уравнения: sin(3x)= √3/2. И найти все корни на отрезке [π/2; π ].

3) Решить уравнение: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Решить уравнение: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Решить уравнение:3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6)Решить уравнение:cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Примеры:

\(2\sin{⁡x} = \sqrt{3}\)
tg\({3x}=-\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Как решать тригонометрические уравнения:

Любое тригонометрическое уравнение нужно стремиться свести к одному из видов:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

где \(t\) – выражение с иксом, \(a\) – число. Такие тригонометрические уравнения называются простейшими . Их легко решать с помощью () или специальных формул:

Пример . Решите тригонометрическое уравнение \(\sin⁡x=-\)\(\frac{1}{2}\).
Решение:

Ответ: \(\left[ \begin{gathered}x=-\frac{π}{6}+2πk, \\ x=-\frac{5π}{6}+2πn, \end{gathered}\right.\)\(k,n∈Z\)

Что означает каждый символ в формуле корней тригонометрических уравнений смотри в .

Внимание! Уравнения \(\sin⁡x=a\) и \(\cos⁡x=a\) не имеют решений, если \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Потому что синус и косинус при любых икс больше или равны \(-1\) и меньше или равны \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Пример . Решить уравнение \(\cos⁡x=-1,1\).
Решение: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Ответ : решений нет.

Пример . Решите тригонометрическое уравнение tg\(⁡x=1\).
Решение:

Решим уравнение с помощью числовой окружности. Для этого:
1) Построим окружность)
2) Построим оси \(x\) и \(y\) и ось тангенсов (она проходит через точку \((0;1)\) параллельно оси \(y\)).
3) На оси тангенсов отметим точку \(1\).
4) Соединим эту точку и начало координат - прямой.
5) Отметим точки пересечения этой прямой и числовой окружности.
6)Подпишем значения этих точек: \(\frac{π}{4}\) ,\(\frac{5π}{4}\)
7) Запишем все значения этих точек. Так как они находятся друг от друга на расстоянии ровно в \(π\), то все значения можно записать одной формулой:

Ответ: \(x=\)\(\frac{π}{4}\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Пример . Решите тригонометрическое уравнение \(\cos⁡(3x+\frac{π}{4})=0\).
Решение:

Опять воспользуемся числовой окружностью.
1) Построим окружность, оси \(x\) и \(y\).
2) На оси косинусов (ось \(x\)) отметим \(0\).
3) Проведем перпендикуляр к оси косинусов через эту точку.
4) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности.
5) Подпишем значения этих точек: \(-\)\(\frac{π}{2}\),\(\frac{π}{2}\) .
6)Выпишем все значение этих точек и приравняем их к косинуса (к тому что внутри косинуса).

\(3x+\)\(\frac{π}{4}\) \(=±\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\), \(k∈Z\)

\(3x+\)\(\frac{π}{4}\) \(=\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac{π}{4}\) \(=-\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\)

8) Как обычно в уравнениях будем выражать \(x\).
Не забывайте относиться к числам с \(π\), так же к \(1\), \(2\), \(\frac{1}{4}\) и т.п. Это такие же числа, как и все остальные. Никакой числовой дискриминации!

\(3x=-\)\(\frac{π}{4}\) \(+\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\) \(3x=-\)\(\frac{π}{4}\) \(+\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac{π}{4}\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac{3π}{4}\) \(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac{π}{12}\) \(+\)\(\frac{2πk}{3}\) \(x=-\)\(\frac{π}{4}\) \(+\)\(\frac{2πk}{3}\)

Ответ: \(x=\)\(\frac{π}{12}\) \(+\)\(\frac{2πk}{3}\) \(x=-\)\(\frac{π}{4}\) \(+\)\(\frac{2πk}{3}\) , \(k∈Z\).

Сводить тригонометрические уравнения к простейшим – задача творческая, тут нужно использовать и , и особые методы решений уравнений:
- Метод (самый популярный в ЕГЭ).
- Метод .
- Метод вспомогательных аргументов.

Рассмотрим пример решения квадратно-тригонометрического уравнения

Пример . Решите тригонометрическое уравнение \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Решение:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Сделаем замену \(t=\cos⁡x\).

	Наше уравнение превратилось в типичное . Можно его решить с помощью .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac{5-3}{4}\) \(=\)\(\frac{1}{2}\) ; \(t_2=\)\(\frac{5+3}{4}\) \(=2\)	Делаем обратную замену.
\(\cos⁡x=\)\(\frac{1}{2}\); \(\cos⁡x=2\)	Первое уравнение решаем с помощью числовой окружности. Второе уравнение не имеет решений т.к. \(\cos⁡x∈[-1;1]\) и двум быть равен не может ни при каких иксах.
	Запишем все числа, лежащие на в этих точках.

Ответ: \(x=±\)\(\frac{π}{3}\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Пример решения тригонометрического уравнения с исследованием ОДЗ:

Пример(ЕГЭ) . Решите тригонометрическое уравнение \(=0\)

\(\frac{2\cos^2⁡x-\sin{⁡2x}}{ctg x}\) \(=0\)	Есть дробь и есть котангенс – значит надо записать . Напомню, что котангенс это фактически дробь: ctg\(x=\)\(\frac{\cos⁡x}{\sin⁡x}\) Потому ОДЗ для ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ОДЗ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Отметим «нерешения» на числовой окружности.

\(\frac{2\cos^2⁡x-\sin{⁡2x}}{ctg x}\) \(=0\)	Избавимся в уравнении от знаменателя, умножив его на ctg\(x\). Мы можем это сделать, так как выше написали, что ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡{2x}=0\)	Применим формулу двойного угла для синуса: \(\sin⁡{2x}=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Если у вас руки потянулись поделить на косинус – одерните их! Делить на выражение с переменной можно если оно точно не равно нулю (например, такие: \(x^2+1,5^x\)). Вместо этого вынесем \(\cos⁡x\) за скобки.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	«Расщепим» уравнение на два.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Первое уравнение с решим с помощью числовой окружности. Второе уравнение поделим на \(2\) и перенесем \(\sin⁡x\) в правую часть.

\(x=±\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Корни, которые получились не входят в ОДЗ. Поэтому их в ответ записывать не будем. Второе уравнение типичное . Поделим его на \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) не может быть решением уравнения т.к. в этом случаи \(\cos⁡x=1\) или \(\cos⁡x=-1\)).
	Опять используем окружность.
\(x=\)\(\frac{π}{4}\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Эти корни не исключаются ОДЗ, поэтому можно их записывать в ответ.

Ответ: \(x=\)\(\frac{π}{4}\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Концепция решения тригонометрических уравнений.

Для решения тригонометрического уравнения преобразуйте его в одно или несколько основных тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения в конечном итоге сводится к решению четырех основных тригонометрических уравнений.

Решение основных тригонометрических уравнений.

Существуют 4 вида основных тригонометрических уравнений:
sin x = a; cos x = a
tg x = a; ctg x = a
Решение основных тригонометрических уравнений подразумевает рассмотрение различных положений «х» на единичной окружности, а также использование таблицы преобразования (или калькулятора).
Пример 1. sin x = 0,866. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: х = π/3. Единичная окружность дает еще один ответ: 2π/3. Запомните: все тригонометрические функции являются периодическими, то есть их значения повторяются. Например, периодичность sin x и cos x равна 2πn, а периодичность tg x и ctg x равна πn. Поэтому ответ записывается следующим образом:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Пример 2. соs х = -1/2. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: х = 2π/3. Единичная окружность дает еще один ответ: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; х2 = -2π/3 + 2π.
Пример 3. tg (x - π/4) = 0.
Ответ: х = π/4 + πn.
Пример 4. ctg 2x = 1,732.
Ответ: х = π/12 + πn.

Преобразования, используемые при решении тригонометрических уравнений.

Для преобразования тригонометрических уравнений используются алгебраические преобразования (разложение на множители, приведение однородных членов и т.д.) и тригонометрические тождества.
Пример 5. Используя тригонометрические тождества, уравнение sin x + sin 2x + sin 3x = 0 преобразуется в уравнение 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Таким образом, нужно решить следующие основные тригонометрические уравнения: cos x = 0; sin (3x/2) = 0; cos (x/2) = 0.
Нахождение углов по известным значениям функций.
- Перед изучением методов решения тригонометрических уравнений вам необходимо научиться находить углы по известным значениям функций. Это можно сделать при помощи таблицы преобразования или калькулятора.
- Пример: соs х = 0,732. Калькулятор даст ответ х = 42,95 градусов. Единичная окружность даст дополнительные углы, косинус которых также равен 0,732.
Отложите решение на единичной окружности.
- Вы можете отложить решения тригонометрического уравнения на единичной окружности. Решения тригонометрического уравнения на единичной окружности представляют собой вершины правильного многоугольника.
- Пример: Решения x = π/3 + πn/2 на единичной окружности представляют собой вершины квадрата.
- Пример: Решения x = π/4 + πn/3 на единичной окружности представляют собой вершины правильного шестиугольника.
Методы решения тригонометрических уравнений.
- Если данное тригонометрическое уравнение содержит только одну тригонометрическую функцию, решите это уравнение как основное тригонометрическое уравнение. Если данное уравнение включает две или более тригонометрические функции, то существуют 2 метода решения такого уравнения (в зависимости от возможности его преобразования).
  - Метод 1.
- Преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: f(x)*g(x)*h(x) = 0, где f(x), g(x), h(x) - основные тригонометрические уравнения.
- Пример 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0 < x < 2π)
- Решение. Используя формулу двойного угла sin 2x = 2*sin х*соs х, замените sin 2x.
- 2соs х + 2*sin х*соs х = 2cos х*(sin х + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: соs х = 0 и (sin х + 1) = 0.
- Пример 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < x < 2π)
- Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.
- Пример 8. sin x - sin 3x = cos 2x . (0 < x < 2π)
- Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0.
  - Метод 2.
- Преобразуйте данное тригонометрическое уравнение в уравнение, содержащее только одну тригонометрическую функцию. Затем замените эту тригонометрическую функцию на некоторую неизвестную, например, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t и т.д.).
- Пример 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0 < x < 2π).
- Решение. В данном уравнении замените (cos^2 x) на (1 - sin^2 x) (согласно тождеству). Преобразованное уравнение имеет вид:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Замените sin х на t. Теперь уравнение имеет вид: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Это квадратное уравнение, имеющее два корня: t1 = -1 и t2 = 9/5. Второй корень t2 не удовлетворяет области значений функции (-1 < sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Пример 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Решение. Замените tg x на t. Перепишите исходное уравнение в следующем виде: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Теперь найдите t, а затем найдите х для t = tg х.