Сложение и вычитание действительных чисел. Open Library - открытая библиотека учебной информации
Повторение неполной средней школы
Интеграл
Производная
Объемы тел
Тела вращения
Метод координат в пространстве
Прямоугольная система координат. Связь между координатами векторов и координатами точек. Простейшие задачи в координатах. Скалярное произведение векторов.
Понятие цилиндра. Площадь поверхности цилиндра. Понятие конуса.
Площадь поверхности конуса. Сфера и шар. Площадь сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости.
Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда. Объем прямой призмы, цилиндра. Объем пирамиды и конуса. Объём шара.
Раздел III. Начала математического анализа
Производная. Производная степенной функции. Правила дифференцирования. Производные некоторых элементарных функций. Геометрический смысл производной.
Применение производной к исследованию функций Возрастание и убывание функции. Экстремумыфункции. Применение производной к построению графиков. Наибольшее, наименьшее значенияфункции.
Первообразная. Правила нахождения первообразных. Площадь криволинейной трапеции и интеграл. Вычисление интегралов. Вычисление площадей с помощью интегралов.
Учебно-тренировочные задания к экзаменам
Раздел I. Алгебра
Число - абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Числа возникли еще в первобытном обществе в связи с потребностью людей считать предметы. С течением времени по мере развития науки число превратилось в важнейшее математическое понятие.
Для решения задач и доказательства различных теорем крайне важно понимать, какие бывают виды чисел. Основные виды чисел включают в себя: натуральные числа, целые числа, рациональные числа, действительные числа.
Натуральные числа - ϶ᴛᴏ числа, получаемые при естественном счёте предметов, а вернее при их нумерации («первый», «второй», «третий»...). Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N (можно запомнить, опираясь на английское слово natural). Можно сказать, что N ={1,2,3,....}
Дополнением натуральных чисел нулём и отрицательными числами (ᴛ.ᴇ. числами, противоположными натуральным) множество натуральных чисел расширяется до множества целых чисел.
Целые числа - ϶ᴛᴏ числа из множества {0, 1, -1, 2, -2, ....}. Это множество состоит из трех частей – натуральные числа, отрицательные целые числа (противоположные натуральным числам) и число 0 (нуль). Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Можно сказать, что Z={1,2,3,....}. Рациональные числа - ϶ᴛᴏ числа, представимые в виде дроби , где m - целое число, а n - натуральное число.
Существуют рациональные числа, которые нельзя записать в виде конечной десятичной дроби, к примеру . В случае если, к примеру, попытаться записать число в виде десятичной дроби, используя известный алгоритм деления уголком, то получится бесконечная десятичная дробь . Бесконечную десятичную дробь называют периодической, повторяющуюся цифру 3 – её периодом. Периодическую дробь коротко записывают так: 0,(3); читается: «Ноль целых и три в периоде».
Вообще, периодическая дробь - ϶ᴛᴏ бесконечная десятичная дробь, у которой начиная с некоторого десятичного знака повторяется одна и та же цифра или несколько цифр – период дроби.
К примеру, десятичная дробь периодическая с периодом 56; читается «23 целых, 14 сотых и 56 в периоде».
Итак, каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, так как может быть представлена в виде дроби , где - целое число, - натуральное число.
Действительные (вещественные) числа - ϶ᴛᴏ числа, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ применяются для измерения непрерывных величин. Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R. Действительные числа включают в себя рациональные числа и иррациональные числа. Иррациональные числа - ϶ᴛᴏ числа, которые получаются в результате выполнения различных операций с рациональными числами (к примеру, извлечение корня, вычисление логарифмов), но при этом не являются рациональными. Примеры иррациональных чисел - ϶ᴛᴏ .
Любое действительное число можно отобразить на числовой прямой:
Для перечисленных выше множеств чисел справедливо следующее высказывание: множество натуральных чисел входит во множество целых чисел, множество целых чисел входит во множество рациональных чисел, а множество рациональных чисел входит во множество действительных чисел. Это высказывание можно проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера.
Упражнения для самостоятельного решения
Действительные числа
Множество действительных чисел состоит из множества рациональных и иррациональных чисел.
Обозначается множество действительных чисел R. Так же множество действительных чисел можно обозначить промежутком (-?; +?)
Замечание 1
Вспомним, что любое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби, а любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби, значит будет верно следующее утверждение:
Множество конечных и бесконечных десятичных дробей составляют множество действительных чисел.
Геометрическая модель действительных чисел
Геометрической моделью действительных чисел является координатная прямая. Это связано с тем, что каждая точка числовой имеет координату, которая будет являться действительным числом.
Сравнение действительных чисел
Для того чтобы сравнить действительные числа , можно воспользоваться или геометрической моделью действительных чисел или провести сравнение аналитически.Рассмотрим данные способы.
Для того чтоюы сравнить два действительных числа, достаточно найти разность этих чисел и сравнить ее с нулем. Если разность будет положительна, то первое число(уменьшаемое разности) будет больше второго числа(вычитаемого разности); если же разность будет отрицательна, то наоборот
Пример 1
Сравнить числа $\frac{18}{5}$ и $4$.
Решение. Для сравнения этих чисел составим и вычислим их разность
$\frac{18}{5} - 4 =\ \frac{18}{5}-\ \frac{20}{5}=-\frac{2}{5}$
для вычисления разности мы приводили данные числа к общему знаменателю, в данном случае общий знаменатель равен $5$. После этого используя правило вычитания дробей с одинаковым знаменателем мы вычли из числителя первой дроби числитель второй дроби, а знаменатель оставили прежним.
Теперь обратим вниманеи, что разность этих чисел получилась отрицательна, значит первое число(уменьшаемое) меньше второго(вычитаемого), т. е.
$\frac{18}{5}$ ‹ 4
Для того чтобы сравнить числа с помощью числовой прямой, надо определить местоположение точек, координаты которых будут соответствовать сравниваемым действительным числам. То число, которое больше будет располагаться на координатной прямой правее, то, которое меньше левее
Пример 2
Сравнить числа $\frac{18}{5}$ и 4 с помощью координатной прямой
Решение. Для сравнения этих чисел сначала определим местоположение точек, координаты которых будут соответствовать сравниваемым действительным числам, т е числам $\frac{18}{5}$ и $4$.
Для этого сначала преобразуем неправильную дробь $\frac{18}{5}$ путем выделения целой части, тогда получим
\[\frac{18}{5}=3\frac{3}{5}\]
Теперь на координатной прямой отметим точки, координаты которых будут соответственно равны $3\frac{3}{5}$ и $4$.
Рисунок 1.
Теперь становится очевидно, что точка с координатой 4 лежит правее чем точка с координатой $3\frac{3}{5}$ , значит число 4 больше чем $3\frac{3}{5}$ .
Мы видим, что вне зависимости от выбранного способа сравнения результат получен одинаковый.
С действительными числами можно осуществлять все арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. На практике часто, для того чтобы не допустить ошибку перед тем, как производить действия надо определить знаки исходных чисел, т.е. определить положительными или отрицательным является каждое из чисел
Сложение действительных чисел
Для того чтобы найти сумму действительных чисел с одинаковыми знаками, надо сложить модули этих чисел и перед полученной суммой поставить из общий знак.
Например, найдем сумму чисел $375$ и $863$. Очевидно, что оба числа положительны, тогда $375+863=/375/+/863/=1238$.Полученная сумма будет иметь знак $«+»$, т к оба числа имели этот общий знак, т.е. были положительны
Теперь найдем сумму чисел $-375$ и $-863$. Оба числа отрицательны, значит сумма будет так же иметь знак $«-»$
$-375+(-863)= - (/375/+/863/)= -1238$
Для того чтобы найти сумму чисел с разными знаками, надо из числа большего по модуля вычесть число меньшее по модулю и перед получившейся разностью поставить знак числа большего по модулю.
Например, найдем сумму чисел $-657$ и $343$. Сначала вычислим модули данных чисел
Теперь согласно правилу произведем дальнейший расчет
$657-343=314$, тогда
$-657+ 343= - 314$
При вычисления произведения чисел необходимо придерживаться следующих правил:
при умножении и делении положительных чисел полученное число будет положительным
Например, найдем произведение $\sqrt{13}\cdot \sqrt{7}$
Оба числа положительны, значит и произведение этих чисел будет положительным. Действительно $\sqrt{13}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{91}$
при умножении и делении отрицательных чисел полученное число будет положительным
Например, найдем произведение $-\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{6}{8}\right)=\frac{18}{32}=\frac{9}{16}$
при умножении и делении отрицательного и положительного чисел полученное число будет отрицательным
Вычислим частное $\frac{16}{5}$ и $(-4)$
$\frac{16}{5}$ : (-4)= = $\frac{16}{5\cdot 4}=-\frac{4}{5}$
1. Понятие иррационального числа. Бесконечные десятичные непериодические дроби. Множество действительных чисел.
2. Арифметические действия над действительными числами. Законы сложения и умножения.
3. Расширение действительных положительных чисел до множества действительных чисел. Свойства множества действительных чисел.
4. Приближенные числа.Правила округления действительных чисел и действия с приближенными числами. Вычисления с помощью микрокалькулятора.
5. Основные выводы
Действительные числа
Одним из источников появления десятичных дробей является деление натуральных чисел, другим - измерение величин. Выясним, например, как могут получиться десятичные дроби при измерении длины отрезка.
Пусть х - отрезок, длину которого надо измерить, е - единичный отрезок. Длину отрезка х обозначим буквой X , а длину отрезка е - буквой Е . Пусть отрезок х состоит из n отрезков, равных е ₁ и отрезка х ₁, который короче отрезка е (рис. 130), т.е. n ∙Е < X < (n + 1) ∙Е . Числа n и n + 1 есть приближенные значения длины отрезка х при единице длины Е с недостатком и с избытком с точностью до 1.
Чтобы получить ответ с большей точностью, возьмем отрезок е ₁ - десятую часть отрезка е и будем укладывать его в отрезке х ₁. При этом возможны два случая.
1) Отрезок е₁ уложился в отрезке х ₁ точно n раз. Тогда длина n отрезка х выражается конечной десятичной дробью: X = (n + n ₁\10) ∙Е= n, n ₁∙Е. Например, X = 3,4∙Е.
2) Отрезок х ₁ оказывается состоящим из n отрезков, равных е ₁, и отрезка х ₂, который короче отрезка е ₁. Тогда n , n ₁∙Е < X < n , n ₁ n ₁′∙Е , где n , n ₁ и n , n ₁ n ₁′ - приближенные значения длины отрезка х с недостатком и с избытком с точностью до 0,1.
Ясно, что во втором случае процесс измерения длины отрезка х можно продолжать, взяв новый единичный отрезок е ₂ - сотую часть отрезка е .
На практике этот процесс измерения длины отрезка на каком-то этапе закончится. И тогда результатом измерения длины отрезка будет либо натуральное число, либо конечная десятичная дробь. Если же представить этот процесс измерения длины отрезка в идеале (как и делают в математике), то возможны два исхода:
1)На k-том шагу процесс измерения окончится. Тогда длина отрезках выразится конечной десятичной дробью вида n , n ₁… n k.
2) Описанный процесс измерения длины отрезка х продолжается бесконечно. Тогда отчет о нем можно представить символом n , n ₁… n k..., который называют бесконечной десятичной дробью.
Как убедиться в возможности второго исхода? Для этого достаточно произвести измерение длины такого отрезка, для которого известно, что его длина выражена, например, рациональным числом 5 . Если бы оказалось, что в результате измерения длины такого отрезка получается конечная десятичная дробь, то это означало бы, что число 5 можно представить в виде конечной десятичной дроби, что невозможно: 5 = 5,666....
Итак, при измерении длин отрезков могут получаться бесконечные десятичные дроби. Но всегда ли эти дроби периодические? Ответ на этот вопрос отрицателен: существуют отрезки, длины которых нельзя выразить бесконечной периодической дробью (т.е. положительным рациональным числом) при выбранной единице длины. Это было важнейшим открытием в математике, из которого следовало, что рациональных чисел недостаточно для измерения длин отрезков.
Теорема . Если единицей длины является длина стороны квадрата, то длина диагонали этого квадрата не может быть выражена положительным рациональным числом.
Доказательство . Пусть длина стороны квадрата выражается числом 1. Предположим противное тому, что надо доказать, т.е., что длина диагонали АС квадрата АВСВ выражается несократимой дробью . Тогда по теореме Пифагора, выполнялось бы равенство
1²+ 1² = . Из него следует, что m² = 2n². Значит, m² - четное число, тогда и число m - четно (квадрат нечетного числа не может быть четным). Итак, m = 2р. Заменив в равенстве m² = 2n² число m на 2р, получаем, что 4р² = 2n², т.е. 2р² = n². Отсюда следует, что n² четно, следовательно, n - четное число. Таким образом, числа m и n четны, значит, дробь можно сократить на 2, что противоречит предположению о ее несократимости. Установленное противоречие доказывает, что если единицей длины является длина стороны квадрата, то длину диагонали этого квадрата нельзя выразить рациональным числом.
Из доказанной теоремы следует, что существуют отрезки, длины которых нельзя выразить положительным числом (при выбранной единице длины), или, другими словами, записать в виде бесконечной периодической дроби. И значит, получаемые при измерении длин отрезков бесконечные десятичные дроби могут быть непериодическими.
Считают, что бесконечные непериодические десятичные дроби являются записью новых чисел - положительных иррациональных чисел. Так как часто понятия числа и его записи отождествляют, то говорят, что бесконечные непериодические десятичные дроби - это и есть положительные иррациональные числа.
Мы пришли к понятию положительного иррационального числа через процесс измерения длин отрезков. Но иррациональные числа можно получить и при извлечении корней из некоторых рациональных чисел. Так √2 , √7, √24 - это иррациональное числа. Иррациональными являются также lg 5, sin 31, числа π =3,14..., е = 2,7828... и другие.
Множество положительных иррациональных чисел обозначают символом J+.
Объединение двух множеств чисел: положительных рациональных и положительных иррациональных называют множеством положительных действительных чисел и обозначают символом R+. Таким образом, Q+ ∪ J + = R+. При помощи кругов Эйлера эти множества изображены на рисунке 131.
Любое положительное действительное число может быть представлено бесконечной десятичной дробью - периодической (если оно является рациональным), либо непериодической (если оно является иррациональным).
Действия над положительными действительными числами сводятся к действиям над положительными рациональными числами.
Сложение и умножение положительных действительных чисел обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, а умножения дистрибутивно относительно сложения и вычитания.
С помощью положительных действительных чисел можно выразить результат измерения любой скалярной величины: длины, площади, массы и т.д. Но на практике часто нужно выразить числом не результат измерения величины, а ее изменение. Причем ее изменение может происходить различно - она может увеличиваться, уменьшаться или оставаться неизменной. Поэтому, чтобы выразить изменение величины, кроме положительных действительных чисел нужны иные числа, а для этого необходимо расширить множество R+, присоединив к нему число 0 (нуль) и отрицательные числа.
Объединение множества положительных действительных чисел с множеством отрицательных действительных чисел и нулем есть множество R всех действительных чисел.
Сравнение действительных чисел и действия над ними выполняются по правилам, известным нам из школьного курса математики.
Упражнения
1. Опишите процесс измерения длины отрезка, если отчет о нем представляется дробью:
а) 3,46; б) 3,(7); в) 3,2(6).
2. Седьмая часть единичного отрезка укладывается в отрезке а 13 раз. Конечной или бесконечной дробью будет представлена длина этого отрезка? Периодической или непериодической?
3. Дано множество: {7; 8 ; √8; 35,91; -12,5; -√37; 0; 0,123; 4136}.
Можно ли разбить его на два класса: рациональные и иррациональные?
4. Известно, что любое число можно изобразить точкой на координатной прямой. Исчерпывают ли точки с рациональными координатами всю координатную прямую? А точки с действительными координатами?
99. Основные выводы § 19
При изучении материала данного параграфа мы уточнили многие известные из школьного курса математики понятия, связав их с измерением длины отрезка. Это такие понятия, как:
дробь (правильная и неправильная);
равные дроби;
несократимая дробь;
положительное рациональное число;
равенство положительных рациональных чисел;
бесконечная периодическая десятичная дробь;
бесконечная непериодическая десятичная дробь;
иррациональное число;
действительное число.
Мы выяснили, что отношение равенства дробей есть отношение эквивалентности и воспользовались этим, определяя понятие положительного рационального числа. Выяснили также, как связано с измерением длин отрезков сложение и умножение положительных рациональных чисел и получили формулы для нахождения их суммы и произведения.
Определение отношения «меньше» на множестве Q+ позволило назвать его основные свойства: оно упорядоченное, плотное, в нем нет наименьшего и наибольшего числа.
Мы доказали, что множество Q+ положительных рациональных чисел удовлетворяет всем тем условиям, которые позволяют его считать расширением множества N натуральных чисел.
Введя десятичные дроби, мы доказали, что любое положительное рациональное число представимо бесконечной периодической десятичной дробью.
Бесконечные непериодические дроби считают записями иррациональных чисел.
Если объединить множества положительных рациональных и иррациональных чисел, то получаем множество положительных действительных чисел: Q+ ∪ J + = R+.
Если к положительным действительным числам присоединить отрицательные действительные числа и нуль, то получаем множество R всех действительных чисел.
Тема № 1.
Действительные числа.Числовые выражения. Преобразование числовых выражений
I. Теоретический материал
Основные понятия
· Натуральные числа
· Десятичная запись числа
· Противоположные числа
· Целые числа
· Обыкновенная дробь
· Рациональные числа
· Бесконечная десятичная дробь
· Период числа, периодическая дробь
· Иррациональные числа
· Действительные числа
· Арифметические действия
· Числовое выражение
· Значение выражения
· Обращение десятичной дроби в обыкновенную
· Обращение обыкновенной дроби в десятичную
· Обращение периодической дроби в обыкновенную
· Законы арифметических действий
· Признаки делимости
Числа, употребляемые при счете предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называются натуральными . Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такую запись чисел называют десятичной.
Например : 24; 3711; 40125.
Множество натуральных чисел принято обозначать N .
Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными числами.
Например , числа 7 и – 7.
Числа натуральные, им противоположные, а также число нуль составляют множество целых Z .
Например : – 37; 0; 2541.
Число вида , где m – целое число, n – натуральное число, называется обыкновенной дробью . Заметим, что любое натуральное число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.
Например : , .
Объединение множеств целых и дробных чисел (положительных и отрицательных) составляет множество рациональных чисел. Его принято обозначать Q .
Например : ; – 17,55; .
Пусть дана десятичная дробь. Ее значение не изменится, если справа приписать любое число нулей.
Например : 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .
Такая десятичная дробь называется бесконечной десятичной дробью.
Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.
Последовательно повторяющаяся группа цифр после запятой в записи числа называется периодом , а бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической . Для краткости принято период записывать один раз, заключая его в круглые скобки.
Например : 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).
2,73000… = 2,73(0).
Бесконечные десятичные непериодические дроби называются иррациональными числами.
Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел составляет множество действительных чисел. Его принято обозначать R .
Например : ; 0,(23); 41,3574…
Число 
является иррациональным.
Для всех чисел определены действия трёх ступеней:
· действия I ступени: сложение и вычитание;
· действия II ступени: умножение и деление;
· действия III ступени: возведение в степень и извлечение корня.
Выражение, составленное из чисел, знаков арифметических действий и скобок, называется числовым.
Например
: 
; .
Число, полученное в результате выполнения действий, называется значением выражения .
Числовое выражение не имеет смысла , если содержит деление на нуль.
При нахождении значения выражения выполняются последовательно действия III ступени, II ступени и в конце действия I ступени. При этом необходимо учитывать размещение в числовом выражении скобок.
Преобразование числового выражения заключается в последовательном выполнении арифметических действий над входящими в него числами с использованием соответствующих правил (правило сложения обыкновенных дробей с разными знаменателями, умножения десятичных дробей и др.). Задания на преобразование числовых выражений в учебных пособиях встречаются в следующих формулировках: «Найдите значение числового выражения», «Упростите числовое выражение», «Вычислите» и др.
При нахождении значений некоторых числовых выражений приходится выполнять действия с дробями разного вида: обыкновенными, десятичными, периодическими. В этом случае бывает необходимо обратить обыкновенную дробь в десятичную или выполнить обратное действие – заменить периодическую дробь обыкновенной.
Чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную , достаточно в числителе дроби записать число, стоящее после запятой, а в знаменателе – единицу с нулями, причем нулей должно быть столько, сколько цифр находится справа от запятой.
Например : ; .
Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную , надо разделить ее числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число.
Например
: 
;
;
.
Чтобы обратить периодическую дробь в обыкновенную , надо:
1) из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода;
2) записать эту разность числителем;
3) в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде;
4) дописать в знаменателе столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.
Например
: 
; 
.
Законы арифметических действий над действительными числами
1. Переместительный (коммутативный) закон сложения: от перестановки слагаемых значение суммы не меняется:
2. Переместительный (коммутативный) закон умножения: от перестановки множителей значение произведения не меняется:
3. Сочетательный (ассоциативный) закон сложения: значение суммы не изменится, если какую-либо группу слагаемых заменить их суммой:
4. Сочетательный (ассоциативный) закон умножения: значение произведения не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением:
.
5. Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения: чтобы умножить сумму на число, достаточно умножить каждое слагаемое на это число и сложить полученные произведения:
Свойства 6 – 10 называют законами поглощения 0 и 1.
Признаки делимости
Свойства, позволяющие в некоторых случаях, не производя деление, определить, делится ли одно число на другое, называются признаками делимости .
Признак делимости на 2. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда запись числа оканчивается на четную цифру. То есть на 0, 2, 4, 6, 8.
Например : 12834; –2538; 39,42.
Признак делимости на 3 . Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Например : 2742; –17940.
Признак делимости на 4 . Число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа.
Например : 15436; –372516.
Признак делимости на 5 . Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5.
Например : 754570; –4125.
Признак делимости на 9 . Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Например : 846; –76455.
