Сложение и вычитание действительных чисел. Конспект урока "действительные числа"

Урок №2.

Тема урока. Действительные числа.

Цель урока. Ввести понятие действительного числа. Действия с действительными числами.

Ход урока.

I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.

II . Повторение пройденного материала.

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения знаний (самостоятельная работа).

1 вариант. 2 вариант.

1. Найдите значения выражений:

1) ; 2) ; 3) 1) 2) 3)

2. Вычислить:

1) 2) 1) 2)

3) 4) 3) ; 4)

III . Изучение нового материала.

1.Рациональных чисел недостаточно для решения задач измерения. Так диагональ квадрата с единичной стороной не может быть измерена, если использовать только рациональные числа(2,5т.л. до н.э.)

Для задач измерения можно выбрать стандартную величину - длину отрезка и задать числа геометрически – отрезками, а точнее их отношениями к выбранному единичному отрезку (единице масштаба). Если назвать числом отношение отрезка к единичному, то возникает задача записи числа. Удобна запись числа в виде десятичной дроби, отражающей некоторый процесс измерения.

Измеряя диагональ квадрата со стороной 1, мы сначала отложим целый

единичный отрезок и получим число 1. В остатке будем откладывать деся-

тую часть единичного отрезка. Она отложится 4 раза, и останется отрезок

длины, меньшей . Получим десятичную дробь 1,4. Затем делим

снова на 10 частей, откладываем новый отрезок в остатке и записываем

результат. Получим последовательность десятичных дробей с увеличива-

ющимся количеством знаков после запятой: 1; 1.4; 1,41; 1,414; 1,4142;… .

Эту последовательность удобно представить в виде одной беско-

нечной десятичной дроби 1,414213562373095…, которую и можно считать

числом. Итак, по определению действительное число – это бесконечная

непериодическая десятичная дробь.

2. Конечная десятичная дробь. Рациональное число, представленное

Дробью, в знаменателе которой стоят только двойки и пятерки, запишется

конечной десятичной дробью, так как на каком-то шаге десятичный процесс измерения закончится – некоторая доля единичного отрезка отложится в остатке целое число раз.

Например:

Если у некоторой несократимой дроби в знаменателе есть простые числа, отличные от 2 и 5, то процесс десятичного измерения станет периодическим, и цифры (одна или несколько) начнут периодически повторяться.

Например:

3. Иррациональные числа – это числа, не являющиеся рациональными. Они записываются бесконечными непериодическими десятичными дробями.

Например: .

Объединение множества рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел R . ( ).

4 . Зачем понадобились действительные числа, и хватает ли их для решения задач?

Добавление к рациональным числам иррациональных чисел было вызвано необходимостью измерения длины любых отрезков. С помощью так построенных действительных чисел можно измерять многие другие величины, которые были названы скалярными .

5 . Почему диагональ квадрата со стороной, равной единице, нельзя измерить рациональным числом?

6. Действия над действительными числами.

Бесконечная десятичная дробь – это последовательность приближений конечными десятичными дробями к данному действительному числу. Для выполнения арифметических операций над ними эти операции делаются с конечными десятичными дробями.

Например: . Получим:

Аналогично (с помощью калькулятора).

Действительные числа можно изобразить точками на числовой оси. Если два числа b изображены точками на числовой оси, то расстояние между А и В равно модулю разности чисел a u b : Свойства:

I v . Закрепление пройденного материала.

1. Ответить на вопросы.

1) Всякое ли целое число является рациональным? (Да)

2) Является ли число иррациональным? (Нет)

3) Всегда ли сумма рациональных чисел является рациональным числом? (Нет. Сумма периодических дробей.)

4) Может ли при сложении иррациональных чисел получиться рациональное число? (Нет)

5) Может ли частное от деления рационального числа на иррациональное быть рациональным числом? (Нет)

6) Всегда ли квадрат иррационального числа является рациональным числом? (Нет. ).

2. Решение примеров.

1) Приведите примеры рациональных и иррациональных чисел.

2) Укажите рациональные и иррациональные числа:

3) Верно ли, что: а) . б)

Повторение неполной средней школы

Интеграл

Производная

Объемы тел

Тела вращения

Метод координат в пространстве

Прямоугольная система координат. Связь между координатами векторов и координатами точек. Простейшие задачи в координатах. Скалярное произведение векторов.

Понятие цилиндра. Площадь поверхности цилиндра. Понятие конуса.

Площадь поверхности конуса. Сфера и шар. Площадь сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости.

Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда. Объем прямой призмы, цилиндра. Объем пирамиды и конуса. Объём шара.

Раздел III. Начала математического анализа

Производная. Производная степенной функции. Правила дифференцирования. Производные некоторых элементарных функций. Геометрический смысл производной.

Применение производной к исследованию функций Возрастание и убывание функции. Экстремумыфункции. Применение производной к построению графиков. Наибольшее, наименьшее значенияфункции.

Первообразная. Правила нахождения первообразных. Площадь криволинейной трапеции и интеграл. Вычисление интегралов. Вычисление площадей с помощью интегралов.

Учебно-тренировочные задания к экзаменам

Раздел I. Алгебра

Число - абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Числа возникли еще в первобытном обществе в связи с потребностью людей считать предметы. С течением времени по мере развития науки число превратилось в важнейшее математическое понятие.

Для решения задач и доказательства различных теорем необходимо понимать, какие бывают виды чисел. Основные виды чисел включают в себя: натуральные числа, целые числа, рациональные числа, действительные числа.

Натуральные числа – это числа, получаемые при естественном счёте предметов, а вернее при их нумерации («первый», «второй», «третий»...). Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N (можно запомнить, опираясь на английское слово natural). Можно сказать, что N ={1,2,3,....}

Дополнением натуральных чисел нулём и отрицательными числами (т.е. числами, противоположными натуральным) множество натуральных чисел расширяется до множества целых чисел.

Целые числа – это числа из множества {0, 1, -1, 2, -2, ....}. Это множество состоит из трех частей – натуральные числа, отрицательные целые числа (противоположные натуральным числам) и число 0 (нуль). Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Можно сказать, что Z={1,2,3,....}. Рациональные числа – это числа, представимые в виде дроби , где m - целое число, а n - натуральное число.

Существуют рациональные числа, которые нельзя записать в виде конечной десятичной дроби, например . Если, например, попытаться записать число в виде десятичной дроби, используя известный алгоритм деления уголком, то получится бесконечная десятичная дробь . Бесконечную десятичную дробь называют периодической, повторяющуюся цифру 3 – её периодом. Периодическую дробь коротко записывают так: 0,(3); читается: «Ноль целых и три в периоде».

Вообще, периодическая дробь – это бесконечная десятичная дробь, у которой начиная с некоторого десятичного знака повторяется одна и та же цифра или несколько цифр – период дроби.

Например, десятичная дробь периодическая с периодом 56; читается «23 целых, 14 сотых и 56 в периоде».

Итак, каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, так как может быть представлена в виде дроби , где - целое число, - натуральное число.

Действительные (вещественные) числа – это числа, которое применяются для измерения непрерывных величин. Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R. Действительные числа включают в себя рациональные числа и иррациональные числа. Иррациональные числа – это числа, которые получаются в результате выполнения различных операций с рациональными числами (например, извлечение корня, вычисление логарифмов), но при этом не являются рациональными. Примеры иррациональных чисел – это .

Любое действительное число можно отобразить на числовой прямой:

Для перечисленных выше множеств чисел справедливо следующее высказывание: множество натуральных чисел входит во множество целых чисел, множество целых чисел входит во множество рациональных чисел, а множество рациональных чисел входит во множество действительных чисел. Это высказывание можно проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера.

Упражнения для самостоятельного решения

Действительные числа

Множество действительных чисел состоит из множества рациональных и иррациональных чисел.

Обозначается множество действительных чисел R. Так же множество действительных чисел можно обозначить промежутком (-?; +?)

Замечание 1

Вспомним, что любое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби, а любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби, значит будет верно следующее утверждение:

Множество конечных и бесконечных десятичных дробей составляют множество действительных чисел.

Геометрическая модель действительных чисел

Геометрической моделью действительных чисел является координатная прямая. Это связано с тем, что каждая точка числовой имеет координату, которая будет являться действительным числом.

Сравнение действительных чисел

Для того чтобы сравнить действительные числа , можно воспользоваться или геометрической моделью действительных чисел или провести сравнение аналитически.Рассмотрим данные способы.

Для того чтоюы сравнить два действительных числа, достаточно найти разность этих чисел и сравнить ее с нулем. Если разность будет положительна, то первое число(уменьшаемое разности) будет больше второго числа(вычитаемого разности); если же разность будет отрицательна, то наоборот

Пример 1

Сравнить числа $\frac{18}{5}$ и $4$.

Решение. Для сравнения этих чисел составим и вычислим их разность

$\frac{18}{5} - 4 =\ \frac{18}{5}-\ \frac{20}{5}=-\frac{2}{5}$

для вычисления разности мы приводили данные числа к общему знаменателю, в данном случае общий знаменатель равен $5$. После этого используя правило вычитания дробей с одинаковым знаменателем мы вычли из числителя первой дроби числитель второй дроби, а знаменатель оставили прежним.

Теперь обратим вниманеи, что разность этих чисел получилась отрицательна, значит первое число(уменьшаемое) меньше второго(вычитаемого), т. е.

$\frac{18}{5}$ ‹ 4

Для того чтобы сравнить числа с помощью числовой прямой, надо определить местоположение точек, координаты которых будут соответствовать сравниваемым действительным числам. То число, которое больше будет располагаться на координатной прямой правее, то, которое меньше левее

Пример 2

Сравнить числа $\frac{18}{5}$ и 4 с помощью координатной прямой

Решение. Для сравнения этих чисел сначала определим местоположение точек, координаты которых будут соответствовать сравниваемым действительным числам, т е числам $\frac{18}{5}$ и $4$.

Для этого сначала преобразуем неправильную дробь $\frac{18}{5}$ путем выделения целой части, тогда получим

\[\frac{18}{5}=3\frac{3}{5}\]

Теперь на координатной прямой отметим точки, координаты которых будут соответственно равны $3\frac{3}{5}$ и $4$.

Рисунок 1.

Теперь становится очевидно, что точка с координатой 4 лежит правее чем точка с координатой $3\frac{3}{5}$ , значит число 4 больше чем $3\frac{3}{5}$ .

Мы видим, что вне зависимости от выбранного способа сравнения результат получен одинаковый.

С действительными числами можно осуществлять все арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. На практике часто, для того чтобы не допустить ошибку перед тем, как производить действия надо определить знаки исходных чисел, т.е. определить положительными или отрицательным является каждое из чисел

Сложение действительных чисел

Для того чтобы найти сумму действительных чисел с одинаковыми знаками, надо сложить модули этих чисел и перед полученной суммой поставить из общий знак.

Например, найдем сумму чисел $375$ и $863$. Очевидно, что оба числа положительны, тогда $375+863=/375/+/863/=1238$.Полученная сумма будет иметь знак $«+»$, т к оба числа имели этот общий знак, т.е. были положительны

Теперь найдем сумму чисел $-375$ и $-863$. Оба числа отрицательны, значит сумма будет так же иметь знак $«-»$

$-375+(-863)= - (/375/+/863/)= -1238$

Для того чтобы найти сумму чисел с разными знаками, надо из числа большего по модуля вычесть число меньшее по модулю и перед получившейся разностью поставить знак числа большего по модулю.

Например, найдем сумму чисел $-657$ и $343$. Сначала вычислим модули данных чисел

Теперь согласно правилу произведем дальнейший расчет

$657-343=314$, тогда

$-657+ 343= - 314$

При вычисления произведения чисел необходимо придерживаться следующих правил:

при умножении и делении положительных чисел полученное число будет положительным

Например, найдем произведение $\sqrt{13}\cdot \sqrt{7}$

Оба числа положительны, значит и произведение этих чисел будет положительным. Действительно $\sqrt{13}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{91}$

при умножении и делении отрицательных чисел полученное число будет положительным

Например, найдем произведение $-\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{6}{8}\right)=\frac{18}{32}=\frac{9}{16}$

при умножении и делении отрицательного и положительного чисел полученное число будет отрицательным

Вычислим частное $\frac{16}{5}$ и $(-4)$

$\frac{16}{5}$ : (-4)= = $\frac{16}{5\cdot 4}=-\frac{4}{5}$

Определение

Множество действительных чисел является объединением множеств рациональных и иррациональных чисел. Буква R является обозначением рассматриваемого множества. Множество R представляется промежутком вида (- ∞ ; + ∞).

Замечание

Стоит заметить, что любое рациональное число всегда может принимать вид бесконечной десятичной периодической дроби, любое иррациональное число бесконечной десятичной непериодической дроби, исходя из вышесказанного следует вывод, что множество, включающее в себя конечные и бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби принадлежит множеству R .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Геометрическая модель действительных чисел

Координатная прямая непосредственно представляет собой геометрическую модель множества R . Следовательно, каждой точке на координатной прямой всегда можно поставить в соответствие некоторое действительное число.

Сравнение действительных чисел

Сравнение действительных чисел можно производить воспользовавшись либо геометрической моделью, либо их можно сравнивать аналитически. Рассмотрим оба способа сравнения. На координатной прямой расположено в произвольном порядке два числа. Определить, какое из них больше достаточно просто. Большее число всегда находится правее другого.

Аналитически определись какое число является большим или меньшим какого либо числа тоже возможно, для этого достаточно найти разность этих чисел и затем сравнить ее с нулем. Если полученная разность будет иметь положительный знак, то первое число (уменьшаемое разности) будет больше чем второе число (вычитаемое разности); если же разность будет иметь отрицательный знак, то первое число (уменьшаемое разности) будет меньше, чем второе число (вычитаемое разности).

Ниже рассмотрим примеры, демонстрирующие оба способа сравнения:

Пример 1

Сравнить числа f r a c 185 и 4 .

Решение

Для сравнения данных чисел найдем разность этих чисел.

f r a c 185 - 4 = f r a c 185 - f r a c 205 = - f r a c 25 чтобы вычислить данную разность, надо привести данные числа к общему знаменателю, воспользовавшись правилом приведения к общему знаменателю. Проделав данную операцию, видим, что знаменатель в данном примере равен 5. После этого опираясь на правило вычитания дробей с одинаковым знаменателем, вычтем из числителя первой дроби числитель второй дроби, а знаменатель оставим прежним. Обратим внимание, что разность приведенных чисел является отрицательной, значит первое число (уменьшаемое) меньше второго (вычитаемого), т. е. f r a c 185 < 4 .

Пример 2

Сравнить числа f r a c 185 и 4 с помощью координатной прямой.

Решение

Чтобы сравнить данные числа, следует определить геометрическое место точек этих чисел на координатной прямой. Т.е. сравниваемые действительные числа будут соответствовать определенным координатам на координатной прямой, а именно числам f r a c 185 и 4 . Для начала преобразуем неправильную дробь frac185 в смешанное число т.е. выделим целую часть, следовательно, получим 3 f r a c 35 .

Далее на координатной прямой отметим точки, координаты которых будут равны 3 f r a c 35 и 4 . f r a c 185 содержит в себе 3 целых, значит данное число расположено левее 4. Как уже известно, меньшее число лежит левее, исходя из этого напрашивается вывод, что f r a c 185 < 4 .

Можно сделать вывод, что вне зависимости от внешнего вида сравнения действительных чисел можно реализовать все арифметические операции, а именно сложение, вычитание, умножение и деление. Однако перед выполнением действий с действительными числами следует учитывать исходные знаки данных чисел т.е. определить является каждое число положительными или отрицательными.

Сложение действительных чисел

Чтобы сложить два действительных числа с одинаковыми знаками следует сначала сложить их модули и затем перед суммой поставить их общий знак. Например:

(+ 8) + (+ 2) = + 10 ; (- 5) + (- 4) = - 9 .

Чтобы сложить два действительных числа с разными знаками следует для начала обратить внимание на знак числа, если знак одного из чисел отрицательный, тогда это число следует вычитать из другого, если положительный – сложить с другим. Далее нужно сложить либо вычесть данные числа и поставить знак большего модуля. Например

(+ 2) + (- 7) = - 5 ; (+ 10) + (- 4) = + 6 .

Вычитание действительных чисел

Вычитание действительных чисел можно представить в виде сложения: a - b = a + (- b) , то есть, чтобы вычесть из числа а число b, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Например: (+ 5) - (- 7) = (+ 3) + (+ 7) = 12 ; (+ 6) - (+ 4) = (+ 6) + (- 4) = + 2 .

Умножение действительных чисел

Чтобы умножить (разделить) два действительных числа необходимо умножить (разделить) их модули. И затем перед результатом поставить знак по приведенному в таблице правилу знаков ниже.

При умножении и делении действительных чисел желательно помнить пословицу: «Друг моего друга - мой друг, враг моего врага - мой друг, друг моего врага - мой враг, враг моего друга - мой враг».

Например:

(+ 2) (+ 7) = + 14 ; (- 2) (+ 6) = - 12 ; (- 2) (- 8) = 16 ;

Свойства арифметических действий над действительными числами (основные законы алгебры)

В алгебре существуют так называемые основные законы алгебры. Они практически всегда принимаются за истину (случаи ложности данных законов не рассматриваем) и сформулированы в виде следующих свойств-тождеств: